Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Чандрасекар С. -> "Математическая теория черных дыр: в 2-х томах" -> 79

Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.

Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: в 2-х томах — M.: Мир, 1986. — 276 c.
Скачать (прямая ссылка): mathem-theory.djvu
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 97 >> Следующая


[6F02 - (QJr2) (6v f OfA2)I1 e f №F30I r I- re - F23.0 = 0. (125)

б. Возмущения тензора Риччи. В отличие от случая метрики Шварцшильда теперь нельзя положить равными нулю компоненты возмущенного тензора Риччи, поэтому имеем

8R{a) (b) = —2 [Г)<л> (m) (6F(a) <n)F(o) (m) + F{а) {п) 6F0) (m)) -

- Л(а> (*)Q. oFoi/r8]. (126) Подставляя сюда значения компонент тензора Максвелла, находим 8R00 = 6/?п - -б#22 = 8R33 = -2 (QJr2) 6F02, 8R01 - -2 (QJr2) F12, б#03 = +2 (Q,/r2) F23, (127)

8R12 = + 2 (QJr2) F01, б#23 = +2 (QJr2) F03, б#02 = 8?13 = 0.

в. Аксиальные возмущения. Уравнения для возмущений решения Рейсснера—Нордстрема получаются точно так же, как в § 24 были получены уравнения для возмущений метрики Шварцшильда. В частности, аксиальные и полярные возмущения могут рассматриваться по отдельности.

Аксиальные возмущения решения Рейсснера —Нордстрема, как и в случае метрики Шварцшильда, характеризуются не равными нулю значениями со, q2 и q3, но вместо уравнений (11) и (12) гл. 4 теперь имеем (вследствие уравнений (127))

(rVvQ23 sin3 0),3 + r4Q02, о sin3 9 = 2 (r3ev sin2 0) 8R12 = 4Q^F01 sin2 0,

(128)

(№Q23 sin3 0), 2 -- r2e~2vQ03, о sin3 0 - - 2 (r2 sin2 0) 8R13 = 0. (129)

Систему уравнений (128) и (129) следует дополнить уравнениями (120)-(122). Эти последние уравнения могут быть сведены к одному уравнению для F01 путем исключения из (122) функций F12 и F13 с помощью (120) и (121):

(гё*В\ ,], г + г-V (B9 o/sin 0), е sin 0 - ,е-*В9 оо -

Q* К ao - - ?2, оо) sin20, (130) В - F01 sin 0. (131)

230

Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема

д дг

Подстановкой (ср. с уравнениями (13)-(15) гл. 4)

Q (г, 0, /) r2e2yQ23 sin3 9 = A (q2i 3 — q3,2) sin3 Э (132) уравнения (128) и (129) приводятся к виду

T^iW -аг = - К ¦ - о).о + т41пг eV?> (133)

Исключая из этих уравнений (о и предполагая (что мы делаем всегда) зависимость возмущений от времени вида exp (M)9 получаем следующие уравнения (ср. с уравнением (18) гл. 4):

A^-V- sin3 9 А ^\ + а2 M7A) О -

= 4Q518^r (? sin"2 Є), 0 sin з 9. (135)

Подобным же образом, исключая (со)2 — </2,о),о из уравнения (130) с помощью уравнения (133), получаем

[e2v (re*В), г], г + (eVr) (В, e/sin 9). о sin 9 h (a2re-v - 4Qle\/r3) В -

= —Q*Q,o/^ sin Є. (136)

Подстановки

Q (г, 9) = Q(r)Cr$2(9), (137)

В^ в)- 4^T-- ЗА(г)СГн1(-°(в), (138)

где —функции Гегенбауэра,. приводят к разделению переменных г и 9 в уравнениях (135) и (136) (ср. с уравнениями (19) и (20) гл. 4). При получении второго равенства для В (г, 9) в уравнении (138) было использовано рекуррентное соотношение

iif-2<- (,39)

Подстановки (137) и (138) в уравнения (135) и (136) приводят к следующим радиальным уравнениям (ср. с уравнением (23) гл. 4):

А -37 (4тг) - "г *"Q=Ье*В, (140)

\e2v (гё*В\ , ], г - № + 2) r~]evB -Ь

-I- (оУе-v f. 4Q2eV~3) В - - Q.Qr-4, (141)

где

= 2лг = (/—1) (/ + 2). (142)

Переходя к переменной (определяемой уравнением (42)) и полагая

Q (г) rHt\ re В . _//<->/2м, (143)

42. Метрические возмущения

231

получаем для H1 ' и W1 ' следующую пару связанных уравнений A2Ht} /¦"5A W г 2) г - - 3Af -!- 4r-]Q2J -

- 3MHt* ]г 2Q^Ht] ^ (144)

КЗАІЯІ^ +2Q^MrM- (145) Здесь было введено стандартное обозначение

V -ТЇ7Г 0i- (146)

Если вместо Я(Г' и Я2~ ввести функции

Zt - +^іЯҐ* -h (~qiq-2)mHt\ (147)

= -(-qiq2)l/2 Ht - h Ґ}, (148)

где

<7і = ЗЛ*-| (9Af2 г 4Qi|i2),/2, ^2--3M- (9Al2 Н<М1/2. (149)

то уравнения (144) и (145) расцепляются и Zf' и Z1'] удовлетворяют одномерным волновым уравнениям Шредингера

A2Z^ = VtZt {I = I9 2), (150)

Vt^r3M(Ii1 + 2) г ^q1 (l+qttfr)] (/,/=1,2; /^/), (151)

q{ + q2 = 6Ai, . —^2 = 4Q^2- (152)

Редукция уравнений для аксиальных возмущений к паре одномерных волновых уравнений (150) была впервые выполнена Мон-крифом и Церилли (хотя и совсем другими путями).

Отметим, что в пределе = 0, когда qL = 6М, a q2 — 0, уравнение для Zf] переходит в уравнение Редже—Уилера (уравнения (27) и (28) гл. 4).

г. Полярные возмущения. Полярные возмущения характеризуются приращениями метрических функций v, \i2, JU3 и г[). Линеаризуя выражения для R02, R03, R23, R11 и G22 (уравнения (4) гл. 4) и подставляя в эти величины выражения для возмущений из уравнений (127), получаем вместо уравнений (31) — (35) гл. 4 следующие уравнения:

(6ф + OfI3), r-ViMr- v, г) (6ф -I- 6(i3) - (2/г) бИ2 =-- -6R02 - 0, (153)

[(бф : 6m2)i0 -г (H - Sf<3)ctg9],0 = -ё>+»> ORq3 _ _2Q#r-^vf23,

(154)

(НЧ ov),i-o-b(H-?H3).rCtge + (v,r- l/r)6vl0- (v,r I 1//-)6^2,0 =

- -^-m3 SR23 - -2Q:/--'е-^оз, (155)

232

Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема

^ [(2/г) ov,, + (Mr + V,,) (бф +- 6fi3), г - 2 (г-2 + 2/-\ г) SfI2] +

+ / -2 [(в* + Sv), ео -h (2 Ц + 6v - OfI3), е ctg 9 + 2 6fi3] -

- e-°v (бф + 6ц8)>00 - 6G22 - 6#22 - 2r~2Q* 6F02, (156)

е*> [бф, гг + 2 (1/7 -h V, г) бф, r + (1/V) (бф + Sv + 6fi3 - 6fi2), г -
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed