Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Точно так же наблюдатель, находящийся в области В, может двигаться и по такой времениподобной геодезической, что после пересечения поверхности г_ линия EF = E'F' (рис. 13) попадает в область А. Все такие геодезические (кроме чисто радиальных изотропных геодезических) обходят сингулярность при г = О, а затем пересекают поверхность г = г, (линия E'G') и «чудесным образом» оказываются в новой асимптотически плоской вселенной. Ясно, что такой выбор возможностей для наблюдателя, пересекшего горизонт событий при г = г+, является следствием времени подобного характера сингулярности при г = 0 (в отличие от пространственноподобного характера сингулярности в геометрии Шварцшильда). Но осторожно! Пересечение горизонта Коши чревато опасностью (как мы увидим в § 49).
39. Другой вывод метрики
217
39. Другой вывод
метрики Рейсснера—Нордстрема
В настоящем параграфе мы дадим другой вывод метрики Рейсснера—Нордстрема, который аналогичен выводу метрики Шварцшильда, данному в § 18. Если исходить из метрики, заданной в гл. 3 уравнением (62), то мы получим для случая Рейсснера— Нордстрема те же выражения (уравнения (64) гл. 3) для не равных нулю компонент тензора Римана. И поскольку, кроме того,
#42 = О, ,R22 — Ru = 0 (60)
(ср. с уравнением (8)), то уравнения (68) и (72), полученные в гл. 3, остаются справедливыми. Однако теперь вместо уравнения (73) из гл. 3 мы имеем (см. уравнение (8))
2ц2, re-2iX4r + Г2 (1 - е~2^) = #33 = Ql/r\ (61)
Решение этого уравнения имеет вид
е-2цл = 1 _ 1^L _l i|_ (= e2v = A/r2)f (62)
и мы снова получаем решение Рейсснера—Нордстрема в стандартной форме (уравнение (48)).
Выпишем не равные нулю компоненты тензора Римана (ср. с уравнениями (75) гл. 3):
-#(1)(3)(1)(3) = (2Mr- Ql)/r\
#(2)(0)(2)(0) = (2Mr - 3Q;)/r\ (63)
#(1)(2)(1)(2) = #( )(2)(2)(3) = —#(1)(0)(1)(0) =
= — #(3)(0)(3)(0) = (Mr - Ql)Iг\
Индексы взяты в скобки, чтобы подчеркнуть их тетрадный характер (в локально инерциальной системе отсчета). Эти выражения показывают, что поверхность г = 0 действительно является истинной синуглярностью пространства-времени. Соответствующие тензорные компоненты тензора Римана равны (ср. с уравнениями (76) гл. 3)
#ою1 - + Я/ф/ф = -[(Mr - Q2J/rVvsin2e,
#озоз - + Rtete = ~ 1(Mr - Ql)Ir2) i\
#i2i2 = + #Фгф, = + [(Mr - Ql)/r2)e-2v$m2e,
(64)
#2323 - + #,е,е - + [(Mr - Ql)IA e~2\
#!зіз - + #ФЄФ9 = — (2Mr - Ql) sin2 9,
#0202 = + Rtrtr = + (2Mr - 3Q2)/V4, где e2v = Д/г2.
8 Чандрасекар С.
218
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
40. Геодезические в пространстве-времени Рейсснера—Нордстрема
Метрика Рейсснера—Нордстрема отличается от метрики Шварцшильда только видом «функции горизонта» А; следовательно, основные уравнения, управляющие геодезическим движением, — это уравнения из § 19 и 20, но с другим определением функции А. Например, уравнения для времениподобных геодезических имеют вид (гл. 3, уравнения (85), (90) и (91))
(-?-)*+-!-('+-?)-*. -Sr = *-?-. 4f-+
где
А - г2 - 2Mr + Ql (66)
Рассматривая г как функцию ф и делая замену независимой переменной и = 1/г, получаем уравнение (ср. с уравнением (94) гл. 3)
(J^y = Qy + 2Mu3 - и2 (I + Q2JL2) f 2MuIL2 -
-(1 -E*)/L2 = f(u). (67)
Соответствующие уравнения для изотропных геодезических имеют следующий вид (ср. с уравнениями (212)—(215) гл. 3):
(-^)2 + L2 - A- = Е\ df/dT - ?г2/Д, dep/dx = L/r2; (68)
(lSr)2 = ~ Q»"4" Ши* - "2 ^ 1/Z)2 = F (")» <69>
где D (=ЫЕ) — как и раньше, прицельный параметр.
В отличие от уравнений, которые мы рассматривали в гл. 3, в уравнениях (67) и (69) / (и) — не кубическая, а биквадратичная функция. Мы увидим ниже, что это существенно только для орбит, которые пересекают горизонт при г = г+, т. е. для орбит, которые в геометрии Шварцшильда обрывались в сингулярности, и в этом проявляется различие внутренних (по отношению к соответствующим горизонтам событий) областей метрик Шварцшильда и Рейсснера—Нордстрема.
а. Изотропные геодезические. Как и в пространстве-времени Шварцшильда, радиальные изотропные геодезические в геометрии Рейсснера—Нордстрема служат основой для построения изотропной тетрады, необходимой для применения формализма Ньюмена— Пенроуза. Мы получим уравнения для радиальных изотропных геодезических, положив L=Ob уравнениях (68):
dr , и dt г2 и dB dcp
40. Геодезические в пространстве-времени Рейсснера — Нордстрема 219
Следовательно,
dt
(71)
Решение этого уравнения имеет вид
t = + г* + const.
(72)
Переменная г* определена уравнением (42). Таким образом, в случае входящего светового луча координатное время t возрастает от —оо до +оо при уменьшении г от +оо до г+, затем убывает от +оо до —оо при дальнейшем уменьшении г от г+ до г_ и снова возрастает от —оо до некоторого конечного значения при уменьшении г от г_ до нуля. В собственном времени радиус убывает с постоянной скоростью ? (так и должно быть для световых лучей!). Если свободно падающий наблюдатель начинает движение с конечного расстояния г > г+) то он упадет на сингулярность за конечное собственное время. (Мы увидим ниже, что это единственный класс геодезических, которые обрываются в сингулярности: все остальные геодезические обходят ее). Следует также отметить, что, поскольку dt/dx стремится к +оо в случае приближения к поверхности г = г+ снаружи, т. е. при гr+ + 0, любое излучение, приходящее из бесконечности (область С), при пересечении горизонта событий имеет бесконечное красное смещение. Аналогично вследствие того, что ctf/dx стремится к —оо при г