Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
ds2 = e** [(dx0)2] - (dx2)2} - ^ [(d9)2 + sin2 9 (dq>)2], (2)
где f = exp [2ц2] и JLi3 — функции только и и V (или, иначе, X0 и X2). Соответственно остаются справедливыми выражения для ненулевых (тетрадных) компонент тензора Римана (в метрике (2)), приведенные в гл. 3 (уравнения (10)), только теперь мы рассматриваем не вакуумное пространство-время, а такое, в котором существует электромагнитное поле. Следовательно, мы не можем
St. Решение уравнений Максвелла и Эйнштейна
209
положить тензор Риччи равным нулю, как сделали это в гл. 3 (уравнения (11)—(14)). Вместо этого имеем
Rab - - 2 (y\cdFacFbd - V4WV*/). (3)
где Fab — тетрадные компоненты тензора Максвелла, которые в свою очередь определяются уравнениями Максвелла, а г\аЪ — метрика Минковского в выбранной ортонормированной тетраде.
а. Решение уравнений Максвелла. Ясно, что вследствие сферической симметрии аксиальные компоненты тензора Максвелла /7O1, F12 и F13 должны быть равны нулю, а уравнения для полярных компонент F02, F03 и F23 получаются из уравнений, приведенных в гл. 2 (уравнения (95д)—(95з)). Для случая метрики (2) находим
(^3Z7O2), 2 + e»*+^Fw ctg 9 = 0, (e^F02\ о + e^+^F23 ctg 9 = 0, {(P'+»*FM\ 2 - (e^+^Fosl о = 0, (e^+^F2,\ о — (e^>F03), 2 = 0. (4)
Предположение о сферической симметрии требует, чтобы компоненты тензора Максвелла не зависели от угла 9. Из уравнений (4) поэтому следует
F03 = F23 = 0, (5)
(^02),2 = (^02),0 = 0. (6)
Следовательно, только компонента F02 не равна нулю, и
F02 =-Q^1 (7)
где (?. — постоянная.
Теперь нетрудно вычислить компоненты тензора Риччи:
-#44=#00 = #i, = -#22 = #зз = <?2.е~4,\ K42 = 0. (8)
б. Решение уравнений Эйнштейна. С учетом уравнений (8), выведенных в предыдущем разделе, уравнения (11)—(15) из гл. 3 принимают следующий вид:
2#,212 + #2424 = + <&Г4>\ (9)
2#Ш4 + #2424 = + <&_4ЦЗ , (10)
#1212 +#1313 + #1414 = -<#Г4Ц\ (11)
#1313 + #2323 + #3434 = — , (12)
#2114 ~Ь #2334 = #24 = 0. (13)
Из уравнений (9) и (10) следует:
#1212 + #1010 =0, (14)
а уравнение (13) и уравнение (10в) из гл. 3 позволяют заключить, что
#12ю =0. (15)
210
Глава S. Решение Рейсснера—Нордстрема
Далее, складывая уравнения (9) и (10), получаем
#1212 - #1010 - #2020 = + Qle~itl3 . (16)
Перепишем уравнение (11) в виде
ЯШ2 + #1313 - #.010 - - (?е~^. (17)
Вычитая теперь уравнение (16) из уравнения (17), получаем
#1313 + #2020 = -2<#Г4,і\ (18)
Замечаем, что уравнения (14) и (15) совпадают с первой парой уравнений (19) из гл. 3, а уравнения (17) и (18) заменяют вторую пару. Преобразуя эти уравнения как в гл. 3, получаем следующую основную систему уравнений:
fZ, ии -Z,J,U = 0, (19)
fZ,vv-Z,vf,v = 0, (20)
/(l-Q2/Z2)+ZZ)UO + Z)UZ„ = 0, (21)
-T-Sr(1T)+ 1T- =-%rf- (22)
Уравнения (19)—(22) — аналог уравнений (31)—(34) гл. 3, и при их решении мы используем тот же метод. Рассмотрим сначала уравнения (19) и (20). Интегрируя уравнение (19) по и, а уравнение (20) — по у, получаем
f = A(u)Zt0; f = B(v)Z%U9 (23)
где А (и) и В (v) — функции только одной указанной переменной. Уравнение (21) теперь можно переписать в двух различных формах:
[А (и) (Z + Q2JZ) +ZZ, и], v = 0, (24)
[В (V) (Z + Q2JZ) + ZZ. J, и = 0. (25)
Следовательно,
Z, и = - А (и) (1 + Q2JZ2) + F (U)IZ, (26)
Z, „ = - В (V) (1 + Q2JZ2) + G (V)ZZ9 (27)
где F (и) и G (v) — другие произвольные функции одной переменной.
Исключая из уравнений (26) и (27) функции А (и) и В (v) с помощью уравнения (23), получаем два соотношения:
Z,UZ,V = -/(1+ Q2JZ2) + F (и) Z .JZ =
= -/ (1 + Q./22) + G(V)Z9JZ9 (28)
из которых следует, что
AiL — FM _ Л M /9<Л
38. Структура пространства-времени
211
и поэтому
Таким образом, мы получили следующие решения:
(30)
2М Ql \
Z "I" Z2 Iі
(31) (32)
/ = -Л(а)Д(і>)(і
Ш , Ql \ Z Z2 Г
Несложно проверить, что эти решения удовлетворяют также и уравнению (22), которое мы до сих пор не использовали.
Смысл решения (31) для Z становится яснее, если рассмотреть дифференциал
Как и в гл. 3 (§ 17, б), мы видим, что сферически симметричное решение системы уравнений Эйнштейна — Максвелла с необходимостью статическое (вне горизонта событий). Этот результат составляет содержание обобщенной теоремы Биркгоффа.
Наконец, подставляя найденные решения в метрику (1), получаем метрику Рейсснера—Нордстрема
ds2 = — 4(1 — 2M/Z + Q2JZ2) А (и) В (v) du dv - Z2d?2~ f (34)
Появление в метрике двух произвольных функций А (и) и В (v), так же как и в решении для метрики Шварцшильда (уравнение (48) гл. 3), обусловлено свободой выбора координат на двумерной поверхности U2'- вместо координаты и можно взять некоторую функцию Uy а вместо v — некоторую функцию V.
38. Структура пространства-времени
Следуя обычному соглашению, введем вместо Z координату г, которая имеет смысл «яркостного расстояния», и перепишем уравнения (33) и (34) в виде
r+ = M + (M2-Q2,r\ г_ = M -(M2 -Q2J'2. (38)