Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Чандрасекар С. -> "Математическая теория черных дыр: в 2-х томах" -> 73

Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.

Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: в 2-х томах — M.: Мир, 1986. — 276 c.
Скачать (прямая ссылка): mathem-theory.djvu
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 97 >> Следующая


ds2 = e** [(dx0)2] - (dx2)2} - ^ [(d9)2 + sin2 9 (dq>)2], (2)

где f = exp [2ц2] и JLi3 — функции только и и V (или, иначе, X0 и X2). Соответственно остаются справедливыми выражения для ненулевых (тетрадных) компонент тензора Римана (в метрике (2)), приведенные в гл. 3 (уравнения (10)), только теперь мы рассматриваем не вакуумное пространство-время, а такое, в котором существует электромагнитное поле. Следовательно, мы не можем

St. Решение уравнений Максвелла и Эйнштейна

209

положить тензор Риччи равным нулю, как сделали это в гл. 3 (уравнения (11)—(14)). Вместо этого имеем

Rab - - 2 (y\cdFacFbd - V4WV*/). (3)

где Fab — тетрадные компоненты тензора Максвелла, которые в свою очередь определяются уравнениями Максвелла, а г\аЪ — метрика Минковского в выбранной ортонормированной тетраде.

а. Решение уравнений Максвелла. Ясно, что вследствие сферической симметрии аксиальные компоненты тензора Максвелла /7O1, F12 и F13 должны быть равны нулю, а уравнения для полярных компонент F02, F03 и F23 получаются из уравнений, приведенных в гл. 2 (уравнения (95д)—(95з)). Для случая метрики (2) находим

(^3Z7O2), 2 + e»*+^Fw ctg 9 = 0, (e^F02\ о + e^+^F23 ctg 9 = 0, {(P'+»*FM\ 2 - (e^+^Fosl о = 0, (e^+^F2,\ о — (e^>F03), 2 = 0. (4)

Предположение о сферической симметрии требует, чтобы компоненты тензора Максвелла не зависели от угла 9. Из уравнений (4) поэтому следует

F03 = F23 = 0, (5)

(^02),2 = (^02),0 = 0. (6)

Следовательно, только компонента F02 не равна нулю, и

F02 =-Q^1 (7)

где (?. — постоянная.

Теперь нетрудно вычислить компоненты тензора Риччи:

-#44=#00 = #i, = -#22 = #зз = <?2.е~4,\ K42 = 0. (8)

б. Решение уравнений Эйнштейна. С учетом уравнений (8), выведенных в предыдущем разделе, уравнения (11)—(15) из гл. 3 принимают следующий вид:

2#,212 + #2424 = + <&Г4>\ (9)

2#Ш4 + #2424 = + <&_4ЦЗ , (10)

#1212 +#1313 + #1414 = -<#Г4Ц\ (11)

#1313 + #2323 + #3434 = — , (12)

#2114 ~Ь #2334 = #24 = 0. (13)

Из уравнений (9) и (10) следует:

#1212 + #1010 =0, (14)

а уравнение (13) и уравнение (10в) из гл. 3 позволяют заключить, что

#12ю =0. (15)

210

Глава S. Решение Рейсснера—Нордстрема

Далее, складывая уравнения (9) и (10), получаем

#1212 - #1010 - #2020 = + Qle~itl3 . (16)

Перепишем уравнение (11) в виде

ЯШ2 + #1313 - #.010 - - (?е~^. (17)

Вычитая теперь уравнение (16) из уравнения (17), получаем

#1313 + #2020 = -2<#Г4,і\ (18)

Замечаем, что уравнения (14) и (15) совпадают с первой парой уравнений (19) из гл. 3, а уравнения (17) и (18) заменяют вторую пару. Преобразуя эти уравнения как в гл. 3, получаем следующую основную систему уравнений:

fZ, ии -Z,J,U = 0, (19)

fZ,vv-Z,vf,v = 0, (20)

/(l-Q2/Z2)+ZZ)UO + Z)UZ„ = 0, (21)

-T-Sr(1T)+ 1T- =-%rf- (22)

Уравнения (19)—(22) — аналог уравнений (31)—(34) гл. 3, и при их решении мы используем тот же метод. Рассмотрим сначала уравнения (19) и (20). Интегрируя уравнение (19) по и, а уравнение (20) — по у, получаем

f = A(u)Zt0; f = B(v)Z%U9 (23)

где А (и) и В (v) — функции только одной указанной переменной. Уравнение (21) теперь можно переписать в двух различных формах:

[А (и) (Z + Q2JZ) +ZZ, и], v = 0, (24)

[В (V) (Z + Q2JZ) + ZZ. J, и = 0. (25)

Следовательно,

Z, и = - А (и) (1 + Q2JZ2) + F (U)IZ, (26)

Z, „ = - В (V) (1 + Q2JZ2) + G (V)ZZ9 (27)

где F (и) и G (v) — другие произвольные функции одной переменной.

Исключая из уравнений (26) и (27) функции А (и) и В (v) с помощью уравнения (23), получаем два соотношения:

Z,UZ,V = -/(1+ Q2JZ2) + F (и) Z .JZ =

= -/ (1 + Q./22) + G(V)Z9JZ9 (28)

из которых следует, что

AiL — FM _ Л M /9<Л

38. Структура пространства-времени

211

и поэтому

Таким образом, мы получили следующие решения:

(30)

2М Ql \

Z "I" Z2 Iі

(31) (32)

/ = -Л(а)Д(і>)(і

Ш , Ql \ Z Z2 Г

Несложно проверить, что эти решения удовлетворяют также и уравнению (22), которое мы до сих пор не использовали.

Смысл решения (31) для Z становится яснее, если рассмотреть дифференциал

Как и в гл. 3 (§ 17, б), мы видим, что сферически симметричное решение системы уравнений Эйнштейна — Максвелла с необходимостью статическое (вне горизонта событий). Этот результат составляет содержание обобщенной теоремы Биркгоффа.

Наконец, подставляя найденные решения в метрику (1), получаем метрику Рейсснера—Нордстрема

ds2 = — 4(1 — 2M/Z + Q2JZ2) А (и) В (v) du dv - Z2d?2~ f (34)

Появление в метрике двух произвольных функций А (и) и В (v), так же как и в решении для метрики Шварцшильда (уравнение (48) гл. 3), обусловлено свободой выбора координат на двумерной поверхности U2'- вместо координаты и можно взять некоторую функцию Uy а вместо v — некоторую функцию V.

38. Структура пространства-времени

Следуя обычному соглашению, введем вместо Z координату г, которая имеет смысл «яркостного расстояния», и перепишем уравнения (33) и (34) в виде

r+ = M + (M2-Q2,r\ г_ = M -(M2 -Q2J'2. (38)
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed