Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
ддо) _ r-2ev [М „ (Г/Д) щ2 _ Q2 _l ^4) 2Q2Jr]9
L(O) = r-3?v @Мг - 4Ql)9 Х<°> ---- nevr~\ (190)
В№--2(?г-*е\ В&>-.2(?г*е-* (2Ql^r- ЗМг).
43. Соотношения между V(+) и и между Z(p и Z{J)
235
Теперь несложно получить общее решение уравнений для остальных радиальных функций. Ксантопулос нашел, что
N - Ы{0)Ф + 2п (е27со) Ht - (e27co) {nrHt + Q^Ht), г +
+ (l/ra2)[e2v (<b-2nr-3M)-(n + l)u]{nrH{2+) + Q*\iH[+)), (191)
L = І(0)Ф - г"2 (ягЯ<+) + Q^Ht)9 (192)
Х = Х(0)Ф + /і#?н/г, (!93)
B23- В^Ф-Q^Ht/r2, (191)
Воз =- Всз}Ф - Q^HtIr2 - 2/--4Q2Zo) (nrHt + Q,M#i+))> (195)
где Ф - j (/ir#?+) + <Э*рЯ|+)) (?"7or) dr. (195)
Заметим, что в пределе = 0 функция Ф, определяемая уравнением (196), отличается от функции Ф, введенной в гл. 4 (уравнение (70)), множителем ехр (—v).
43. Соотношения между Vt и Vt и между Z'i+\u Zt
Как и в метрике Шварцшильда, структура потенциалов Vc+ и Vr' (і — 1, 2) в уравнениях для аксиальных и полярных возмущений соответственно обеспечивает равенство коэффициентов отражения и коэффициентов прохождения для этих двух видов возмущений. Нетрудно проверить (мы покажем это ниже, в § 45), что потенциалы имеют следующий вид:
У{Ґ- ±?(-^- + ??/? -fx/,, (197)
где
к - fx2 + 2), ?, = q}, ft = A/r3 (nV ¦ Ь (t, / „ 1, 2; і # j),
(198)
а величины имеют тот же смысл, что и до сих пор. СЛедовательно-решения ZJ' и Zr1 соответствующих уравнений связаны соотно, шением (ср. с уравнениями (152) и (153) гл. 4)
[и2 (її2 -{- 2) ± 2ioqj] Z\
(--і.)
^ ^ + 2) + гз йі) \ № ± Ч ^r- (*, /=1,2;
(199)
Именно существование этого соотношения гарантирует равенство коэффициентов отражения и прохождения, определяемых волновыми уравнениями для функций Z[+ и Z\~\ В § 47 мы рассмотрим
dzt
236
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
¦1•JM
Рис. 19. Потенциальные барьеры 1/^±) вокруг черной дыры Рейсснера — Нордстрема. Сплошные линии — барьеры для значений Q* = 0, 0,4; 0,6; 0,8; 0,9. Потенциальные барьеры для полярных возмущений лишь незначительно отличаются от барьеров для аксиальных возмущений. Для сравнения пунктирной линией показан барьер для полярных возмущений при Q* = 0,9.
применение решений этих уравнений к исследованию отражения и прохождения гравитационных и электромагнитных волн, одновременно падающих на черную дыру Рейсснера—Нордстрема. А здесь приведем графики потенциалов для различных значений (рис. 19 и 20).
44. Описание возмущений
в формализме Ньюмена—Пенроуза
Легкость, с которой нам удалось при исследовании возмущений метрики Шварцшильда в формализме Ньюмена—Пенроуза получить решения для вейлевских скаляров 1F0 и 1F4, связана с тем, что четыре тождества Бианки и два тождества Риччи (соотношения (232) и (233) ^гл. 4) оказались уже линеаризованными в том смысле, что они были однородными относительно величин, которые обращаются в нуль в фоновой метрике (вслед-
44. Описание возмущений
237
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Рис. 20. Потенциальные барьеры 1/}±) вокруг черной дыры Рейсснера — Нордстрема. Сплошные линии — барьеры для значений Q* = 0, 0,4; 0,6; 0,8 и 0,9, соответствующие аксиальным возмущениям. Потенциальные барьеры для полярных возмущений лишь незначительно отличаются от барьеров для аксиальных возмущений. Для сравнения пунктирной линией показан барьер для полярных возмущений при Q* = 0,9.
ствие принадлежности геометрии Шварцшильда к типу D по классификации Петрова). Данный факт означает, что эти уравнения можно было рассматривать, не вычисляя возмущения базисных векторов — в противном случае (как мы увидим в гл. 9) задача становится на порядок сложнее. В геометрии Рейсснера—Нордстрема подобная благоприятная ситуация сохраняется для тождеств Бианки и Риччи (опять в силу принадлежности метрики к типу D), но это не так для уравнений Максвелла (см. уравнения (200)—(203) ниже) — уравнения содержат члены с максвел-ловским скаляром ^1, который не равен нулю в фоновой метрике. Можно, однако, получить такие уравнения, которые уже линеаризованы в том же смысле, что и тождества Бианки и Риччи. Мы начнем с вывода этих уравнений.
а. Уравнения Максвелла, линейные и однородные относительно возмущений. Уравнения Максвелла в формализме Ньюмена—
238
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
Пенроуза есть уравнения относительно максвелловских скаляров Фо> Ф\ и Фъ (уравнения (330)—(333) гл. 1):
Поскольку скаляр (= Q,/2r2) не равен нулю в фоновой метрике, после линеаризации уравнений (200)—(203) в них войдут возмущения базисных векторов (которые действуют на как производные по направлению), а также спиновые коэффициенты р т, я и [і (эти коэффициенты также не равны нулю в фоновой геометрии). Чтобы исправить этот «недостаток», поступим следующим образом.
Подействуем оператором (б — 2т — а* — ? + я*) на уравнение (200), а оператором (D — є + є* — 2р — р*) — на уравнение (201) и вычтем один результат из другого. Получим при этом
[(б - 2т - а* - ? + я*) (б* + я- 2а) -
