Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
r_ + 0, излучение, приходящее из бесконечности, при пересечении горизонта Коши имеет бесконечное фиолетовое смещение.
Рассмотрим теперь изотропные геодезические общего вида, описываемые уравнением (69). Прежде всего замечаем, что уравнение четвертого порядка / (и) = О всегда допускает два действительных корня: один отрицательный (не имеющий физического смысла), а другой положительный (можно показать, что этот корень лежит в области г< г_). Мы рассмотрим только случаи, когда два остальных корня или оба действительные (различные или совпадающие) или комплексно сопряженные друг другу. Введем обозначение D0 для прицельного параметра D, при котором уравнение / (и) = О имеет двойной корень. Тогда для всех значений D > Dc существуют два рода орбит (как и в пространстве-времени Шварцшильда). Орбиты первого рода лежат целиком вне горизонта событий, они приходят из +оо, а затем после прохождения через перицентр снова уходят на +оо. Орбиты второго рода имеют две точки поворота: одну вне горизонта событий, а другую — под горизонтом Коши. В случае когда прицельный параметр D < D0 (т. е. когда уравнение / (и) = О на действительной положительной оси и имеет только один корень, который >1/г_), орбита идет из +оо, пересекает оба горизонта и имеет точку поворота при конечном значении г < г_. Следовательно, все эти орбиты обходят сингулярность при г = 0. Однако, как
220
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
следует из нашего обсуждения в § 38, продолжение орбит, имеющих точки поворота под горизонтом Коши, не достигается просто присоединением соответствующих орбит, получаемых из первых отражением времени. Такие орбиты продолжаются вверх по «лестнице», изображенной на рис. 14, т. е. А -> В' С (где С теперь—другая асимптотически плоская вселенная).
Значение прицельного параметра, при котором уравнение / (и) = 0 имеет двойной корень, определяется из уравнений
/ (и) = 1/D2 - и2 (QW - 2Mu + 1) = 0, (73)
/' (и) = — 2и (1 - 3Mu + 2Q:u2) = 0. (74)
Помимо корня и = 0 уравнение (74) имеет корни
и - (3AfMQ2J [1 ± (1 - 8QI/9M2)172]. (75)
При большем из этих корней / (и) имеет максимум. Искомый двойной корень должен появляться в минимуме функции / (и), где
и = (3M/4QJ [1-(1- 8Q;/9M2)1/2] =: Uc (76)
Соответствующее значение г равно
rc=l,5M[l+(l-8Q!/9M2)1/2]. (77)
Ясно, что уравнения геодезических допускают круговую орбиту радиуса гс. Эта орбита неустойчива.
Из уравнения (73) получаем следующее значение прицельного параметра Dc, соответствующего двойному корню гс:
Dc = r?/Ai/2, Ac - r\ - 2Mrс + Ql = Mr0 - Ql (78)
В этом случае
/ (и) = (и - U0)2 [- Qlu2 + 2(M- QW) и + Uc(M- QIu0)I (79) и решение для ф имеет вид
Ф = ± f [- QW + 2 (M - QW) и +
+ ис (M - QW)]~X? (и - "сг1 du. (80)
Подстановка
I - (U-U0)'1 (81)
сводит решение для ф к элементарному интегралу
Ф + j (_ Ql + ы + cl2)-l/2 dg, (82)
где
o - 2 (M - 2QW)9 с = tu (ЗМ - 4Q2,wJ. (83)
40. Геодезические в пространстве-времени Рейсснера — Нордстрема 221
Мы получили, таким образом, решение
ic-xl2\n\2[c(-Ql + bl + cf)}xl2 + 2cl + b\ (с>0), (g J-(_c)-./»arcsin{^^pJ (С<0).
Это решение описывает орбиты как первого рода, так и второго рода, но этим орбитам соответствуют разные области изменения аргументов. В случае орбит первого рода
оо > г > гс, О < и <: ис, — и~с~х > I > — оо, (85)
а для орбит второго рода
rc ^ r ^ '"min» Wc <С W < Wmax (= 1/Г mm),
+ оо > I > gmin (= (Wmin - W0)-1)
где rmin — положительный корень уравнения (ср. с уравнением (79)):
ис (M - (?ис) г2 + 2(M- Qluc) г - Ql = 0. ¦ (87)
Орбиты первого и второго рода асимптотически приближаются к неустойчивой круговой орбите радиуса г = гс с противоположных сторон, накручиваясь на нее бесконечное число раз.
На рис. 15 изображен пример орбиты, вычисленной по формуле (84) (ср. с рис. 9, б, на котором изображены соответствующие орбиты в пространстве-времени Шварцшильда). Теперь легко представить поведение изотропных геодезических при других значениях прицельного параметра.
б. Времениподобные геодезические. Рассмотрим сначала радиальные геодезические, описываемые уравнениями
s*--^ -к- = ?-г- <88>
Поскольку в интервале О < г < г_ величина А > 0, ясно, что выражение (E2r2 — А) станет равным нулю при некотором конечном значении О < г < г_. Следовательно, траектория будет иметь точку поворота под горизонтом Коши. Таким образом, даже радиальные времениподобные геодезические не достигают сингулярности г = 0, они обходят ее и уходят в другие области. Из уравнения (88) ясно также, что поведение координатного времени t, когда г-> г+ (±0) и г->г_ (±0), соответствует тому, что поверхность г = г+ является горизонтом событий, а поверхность г = г_ — горизонтом Коши.
Формальные решения уравнений (88) могут быть записаны через элементарные интегралы. Вследствие сложности и громоздкости мы не будем их здесь выписывать полностью.
Рассмотрим теперь [уравнение (67), описывающее временило-
222
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
