Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
- 2 (1/г + 2v, г) г"16fi2] + г"2 [бф, ее + бф, е ctg 0 +
+ (бф + 6v - SfX3 f бр2), е ctg 0 + 2 SfI3] - e~2v бф, оо -
--6A11 = 2r-^6F02. (157)
Эти уравнения следует рассматривать совместно с уравнениями (123) и (125), полученными в результате линеаризации уравнений Максвелла.
Разделение переменных г и 0 в уравнениях (123)—(125) и (153)—(157) достигается следующими подстановками (при этом нужно воспользоваться соотношениями (40)—(42) гл. 4):
Ov = NMP1(Q), OfX2 ^ L (г) Л (Є),
o>3 = [7»P, + V(,)P,,eo], 6^., [7(/•)/>,+ V(г)P,,„ctgЄ], ([Щ
6F02 = (№/2Q*) B02 (г) P1, F03 = - №№*) B03 (г) P,, 0, (159)
F23 - -io (/6-72QJB23 (г) Р,,0. (160)
Для введенных таким образом различных радиальных функций получаем следующие соотношения:
[w+(l/r-v>r)] VT-t(l+l)V]-2L/r = 0, (161)
T-V + L = B23, (162)
(T — V -f- N). r - (Mr - v,,.) N - (Mr + v, r) L = B03, (163) (2/r)N,r + (\/r + v<r) [27 - 1(1 у I)V] - (2Ir)(Mr + 2v, r)L -
- / (/ Ь 1) r-e-*vN - 2nr-2e-2vT -j- a?e-4v [2T - / (/ + 1) V] = ?02)
(164)
B0, = (1/r2) (r2?23), r = B23, r -b (2/r) ?2„ (165)
r4e2v?02 - 2Q2 [27 - /(/ -f- 1) V) - 1(1 -f l)r2?23, (166)
(/•Vv?03), г + / VvBo2 + aV2e-2v?23 =¦-= 2Q2 (Л' + ^)/'2- (167)
Заметим, что уравнения (162) и (166) являются алгебраическими. Удобно ввести новую переменную
X = nV = l!2 (I - 1) (/ + 2) V. (168)
Из уравнения (162) следует
2T-1(1 + \)V = -2(L + X - B23). (169)
Это соотношение позволяет переписать уравнение (161) в виде
(L ± X- ?,3),,, -= -(I/г - V r) (L + X - B23) LIr. (170)
42. Метрические возмущения
233
Подобным же образом, комбинируя уравнения (162), (163) и (165), получаем
N4,. - L4 r = (1/г - V, г) N + (1/г -f V, r) L -f 2?23/r. (171)
Наконец, разделение переменных в уравнении (157) (подстановкой (158)) приводит к следующему уравнению:
V, гг + 2 (1/г -f V, г) V9 г + (e~2Jr2) (N 4- L) + <A?-4vV - 0. (172)
Заметим, что в точности такое же уравнение было получено при исследовании возмущений метрики Шварцшильда (уравнение (51) гл. 4).
Уравнения (164), (170) и (171) могут рассматриваться как система трех линейных уравнений первого порядка для трех функций L1 N w V(= XIn). Комбинируя эти уравнения, можно записать производные функций N1LuXb виде линейных комбинаций функций L1 N1 V1 B23 и S03 (ср. с уравнениями (52)—(55) гл. 4):
N,r = aN + bL + с (X — ?23), (173)
L г= (a- l/r + vir)N-J ф-l/r-v,r)L + с (X-B23)-2B23Jr1
(174)
X, r = -(а- 1/г + V,.) N - (b + Vr - 2v,r)L -
- (с + 1/г - V, г) (X - B2,) + ?03, (175) где а = (п + l)e-2v/r, (176)
& =--— (n/r) e~2v + v. г + rv; r + a2re~Av - 2 (Q0Jr") e~2v =
- —1/г - (n/r) е ~2V + (M/r2) e~2v + (M2Ir3) e-4v -f
+ a°r^-4v - (Q2Jr3) (1 -f- 2e2v) е~-*\ (177) c - -1/г + e~2v/r + rv? r -f g2nT4v - 2 (Q;/r3) <T2v = = - l/r + e-2Jr + (M'?/r3)e~^+o2re-4v—(Q2/r3)(l +e°v)e-4 (178)
Уравнение (175) может быть переписано в другом виде: X1 г = — (I//-2) (яг + ЗМ - 2Q2/r) e-2^N +
+ [—r-]e~-v + (М/г2) e~2v - г-3 (M2 - Q2) e~4v -
- а2ге-4Ч (L + X - B23) + aL -L ?03. (179
Замечательно, что система пятого порядка (уравнения (165)— (167) и (173)—(175)) может быть сведена к двум' независимым уравнениям второго порядка. Действительно, определим функции HJ' и HJ' следующим образом (ср. с уравнением (59) гл. 4):
Я^+) = (гIn) X - (г2/ю) (L f X - B23), (180) - - (Q.V) 1 U2B2, -f 2Ql (г/со) (L+ X- B23)] -
= (Q„u) 1Ir2Bn \ 2 (Q9Jr) (rX/n #<>!))L (181)
(b^nr r3M -2Q2Jr. (182)
234
Г лава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
Эти функции удовлетворяют системе двух уравнений
Л2М+) -= r~5A [UH^ + W (-ЗМ#^+) + 2Q^tf І4 >)], (183) Л2#і:) -~ г~5А [?/#S+) + W (+2Q^H{2+) H- 37Wtf[+))], (184)
где
?/ (2пг -j- ЗМ) W + (о - nr- M)- 2яА/со,
Г - (Д/гсо2) (2nr f ЗМ) -f о"1 (nr + М). (185)
Уравнения (183) и (184) могут быть расцеплены, если вместо #2+) и Яі + | ввести такие же функции (147) и (148) (с соответствующей заменой индексов), которые были использованы для расцепления уравнений (144) и (145) в случае аксиальных возмущений. Таким образом, функции
Zi+' = +<7,//i+) + (-qw)mHb+), (186)
Zt'' - - (-qiq2)V2H\+) +qM+> (187)
удовлетворяют одномерным волновым уравнениям
A2Z[+) = Vl+)Z\+) (і = I, 2), (188)
где
V['' - г-5Л [t/ -f- V2 (?1 - q2) W], Vi+) = г~5Д [t/ - V2 (</i - b) П
(189)
Эти расцепленные уравнения были впервые получены (другими методами) Монкрифом и Церилли.
И снова, как легко проверить, в пределе Q^ = 0 уравнение для Zh+] переходит в уравнение Церилли (ср. с уравнениями (62) и (63) гл. 4).
/. Окончание построения решения. Как было показано в § 25 гл. 4, приводимость уравнений, описывающих полярные возмущения черной дыры Шварцшильда, к уравнению Церилли является следствием существования особого решения системы уравнений. Ясно, что и приводимость рассматриваемой в настоящем параграфе системы пятого порядка к паре уравнений (183) и (184) должна быть обусловлена существованием подобного особого решения. Ксантопулос распространил описанный в § 25 гл. 4 анализ на более общий случай, когда система линейных дифференциальных уравнений сводится более чем к одному уравнению второго порядка, и показал, что система уравнений (165), (167) и (173)—(175) допускает следующее специальное решение (ср. с уравнением (126) гл. 4):
