Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
_ (D _ е . |_ г* _ 2р _ р*) (д + ц _ 2у)] ф0 = = [(б - 2т - а* — ? f я*) х - (D - є + є* - 2р - р*) о] ф2 + + х оф2 - ODf2 + (6D - об) - (2 бр) -'г
Заменим коммутатор (6D—Do) в правой части этого уравнения, действующий на ^1, его значением, полученным в гл. 1 (уравнение (304)), а вместо Dt и бр подставим их выражения, которые можно получить из тождеств Риччи (гл. 1, уравнения (31 Ob) и (310л) соответственно). В результате уравнение значительно упрощается, и мы получаем
[(б - 2т - а* - ? + л*) (б* + я - 2а) -
-(D-г А- є* - 2р - р*) (д + ц _ 2у)] ф0 -
= [(б - 2т - а* - ? + л*) х - (D - е + є* - 2р - р*) о] ф2 +
+ и Ц2 - ODf2 + 2фг [(А - Зу- у*- ^ + 1А*)х-
- (б* - За + ?* - т* - л) о] + 4^1Vx + XAf1-(J б*^. (205)
Подобным же образом, действуя операторами —(Д + ц* — — у* + у + 2ц) и +(б* — т* + а + ?* + 2я) на уравнения (202) и (203), складывая результаты и заменяя соответствующие операторы их значениями, получаем еще одно уравнение:
[(б* - т* -I- a ¦f ?* + 2л) (б - т + 2?) -
- (Л + V* - У* + У ¦f %) (D - р f 2е)] ф,
(D - 2р) - (б* + я - 2а) ф0 + кф2
(б - 2т) - (д + ц - 2y) Фо + оф2
(б* f 2л) - (D - р + 2е) ф2 - Хф0
(Л -Ь 2ц) - (б - т + 2?) ^2 - V^0
0, 0, 0, 0.
(200) (201) (202) (203)
Ь (2Dt) _ («* + ? _ я*) Df1 -\- 2р (а* + ? - я*) -
— ( — Є -J- Е* — р*) 6^i 4- 2Т (—8 f Є* - р*) </»!.
(204)
44. Описание возмущений
239
- [(Л +(X*- Y* +Y + 2(x)^-(6*-T* + a + ?* + 2n)v]^o +
+ Uf0 - vo*</>o + 2ф, I- (D + Зе + є* + р - р*) V +
+ (6 + л* + т - а* + 3?) X] + 4^1Y3 - vD</>! + К Ьфг. (206)
Уравнения (205) и (206) уже «линеаризованы» в том смысле, в каком мы употребляем этот термин. Действительно, члены с <j>2 в уравнении (205) и члены с фь в уравнении (206) являются величинами второго порядка малости, и в линейной теории возмущений ими Можно пренебречь. Кроме того, члены Афі и О**/*! (в уравнении (205)) и члены D^1 и S^1 (в уравнении (206)) можно заменить величинами —2\1фъ —2л</>х, 2р</*х и 2хф1 соответственно (что следует из уравнений (200)—(203), если их записать для фоновой метрики). В результате получаем следующие уравнения линейной теории возмущений:
[(6 - 2т - а* - ? + л*) (6* + я - 2а) -
- (D - є + є* - 2р - р*) (Л + (х - 2у)] фо -~-
= Ці [(Л - Зу - 7* - 2(х + (X*) х -
- (6* - За + ?* - т* - 2л) а + 2V1], (207) [(в* _ т* + а + ?* + 2л) (S - т + 2?) -
- (Л + (х* - Y* + Y + 2(х) (D - р + 28)] ф2 =
= 2фг [(S + я* + 2т - а* + 3?) К - (D + Зе + є* + 2р - р*) v + 2Y3].
(208)
б. «Призрачная» калибровка. Очевидно, исследование уравнений (207) и (208) в их настоящем виде совместно с другими уравнениями, получаемыми из тождеств Бианки и Риччи, — непростая задача. Уравнения значительно упрощаются при калибровке, в которой
= = 0. (209)
Это происходит потому, что теперь уравнения (207) и (208) суть просто соотношения, связывающие спиновые коэффициенты x, а, К и V с вейлевскими скалярами Y1 и Y3:
(Л — Зу — у* — 2(х + (X*) х —
— (8* — За + ?* — т* - 2л) or + 2Y1 - 0, (210)
(S + л* + 2т — а* + 3?) X —
+ (D + Зе + є* + 2р — р*) V + 2Y3 - 0. (211)
Уравнения (210) и (211) остаются справедливыми и в пределе </>х = 0, и мы увидим ниже (см. уравнения (217) и (218)), что в этом пределе они определяют «призрачную» калибровку, введенную в § 29, б.
Изучение влияния вращения тетрады на различные скаляры и спиновые коэффициенты, проведенное в гл. 1 (§ 8, ж), показы-
240
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
вает, что можно выбрать калибровку, в которой скаляры </>0 и </>2 равны нулю. Например, бесконечно малое вращение из класса II приводит к следующему изменению (в первом порядке по Ь) вейлевских и максвелловских скаляров (ср. с уравнениями (345) и (346) гл. 1):
Y0 Y0 + 46Y1, Y1 Y1 + 36Y2, Y2->Y2+ 2&Y3, Y3 -> % + ^Y4, (212)
Y4-^Y4, Фо~^Фо+2Ьфъ +!-+фг + Ьфъ
Ф2 «/V
Поскольку "1F0, 4я!, "1P3, Y4, и ^2 в невозмущенной метрике Рейсснера—Нордстрема равны нулю, ясно, что "1F0, "1F2, "1F3, 1F4, </>д и </>2 остаются неизменными (в первом порядке по Ь) при таком вращении. Но вращение приводит к изменению 1F1 и </>0, потому что "1F2 и фг не равны нулю в исходной метрике, однако можно заметить, что, хотя нельзя выбрать калибровку, в которой "1F1 и одновременно равны нулю, комбинация
2^-3^ (213)
инвариантна (в первом порядке) при бесконечно малом вращении.
Подобным же образом можно выбрать калибровку, в которой либо </>2, либо "1F3 равны нулю.
Вернемся к уравнениям (210) и (211). Подставляя из уравнения (112) значения не равных нулю спиновых коэффициентов, получаем
(Д/2г2) (3)\ - 5/г) х + (1/г /2 ) S2O = 2Y1, (214)
(1/г/2 ) A - (D0 - 1/г) V - -2V3, (215)
где операторы 3)fU ?„и имеют тот же смысл, что и в гл. 4 (уравнение (228)), — различие лишь в определении функции А. Вводя переменные (ср. уравнения (236) гл. 4)
x = (г2 /2) /г, о = sr, X = 21/г,
V п /2 /г2, % - Фі/г /2 , =¦¦ Ф3 / 2 /г3, (216)
можем переписать уравнения (214) и (215) в более простом виде: А {3)\ - 3/г) k -f ^2s = 2Ф±/г9 (217)
