Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
(S)0 - 3/г) n-&U = 2Ф3/г. (218)
Следует заметить, что уравнения (217) и (218) совпадают с уравнениями (273) и (276) гл. 4, которые были введены для выявления «усеченной симметрии» уравнений (237) и (242) в той же главе. Они определяют фактически «призрачную» калибровку.
в. Основные уравнения. Тождества Риччи и Бианки имеют тот же вид, что и в случае возмущений метрики Шварцшильда (гл. 1,
44. описание возмущений
241
уравнения (3106), (ЗЮк) и (321а), (321д), (32Ir) и (321 з). Тождества Риччи не меняются вовсе — это третьи уравнения в каждой из двух групп их трех уравнений (232) и (233) гл. 4. Но в первую пару каждой группы уравнений, представляющих тождества Бианки, нужно включить члены, содержащие тензор Риччи, перечисленные в гл. 1 (уравнение (339)). В выбранной нами калибровке, в которой = f2 = 0, эти дополнительные члены имеют вид
—Щхфх (339а), Щхфх (339д),
—Щхфх (339г), 4v^f (339з). ^219^
В результате правые части первых пар уравнений (232) и (233) гл. 4 становятся равными
-fx (3V2 - Цхф{) = -к (3Mr - 2Ql) г-\
+ a (3W2 + Щхф!) = -a (3Mr - 4Ql) г~\
-К (3W2 + Ціфї) = +X (3Mr - 4Q2J г-*, [2Щ
-v (3W2 - Афхф1) = + v (3Mr - 2Ql) г
-4
где вместо W2 и ф1 подставлены их значения из уравнений (114) и (115):
W2 = — (Mr - Ql) r-\ f = Qj2r2. (221)
Теперь мы можем выписать систему основных уравнений (включая уравнения (217) и (218)) для возмущений метрики Рейсснера — Нордстрема (ср. с уравнениями (237) — (242) гл. 4):
^2O0 - (S)0 + 3/r) O1 = -2k (ЗМ - 2QHr)1 (222)
A (S)2+ - 3Ir) O0 -Ь 2?U<S>x - +2s (ЗМ - 4Q2Jr), (223)
(S)0 + 3/r) s - 2?Uk = Ф0/г, (224)
A (Sot ~ 3Ir) k H- S2S = 2Ф,/г; (225)
(S)0 - 3/г) Ф4 - ^_,Ф3 = +21 (ЗМ - 4Q2/r), (226)
Й^Ф4 + A {SoU + 3/г) Ф3 = 2я (ЗМ - 2Q2Jr), (227)
A (S)U + 3/г) Z + 2__хп = Ф4/г, (228)
(S)0 - 3/г) л - S7JZ = 2Ф3/г, (229)
где
Фо = ^о, Ф4-^4, (230)
а остальные переменные были определены в уравнении (216).
е. Разделение переменных, расцепление и редукция уравнений. В первой группе уравнений (222)—(225) разделение переменных
242
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
достигается следующей подстановкой (ср. с уравнениями (247), (278) и (283) гл. 4):
Фо (Л G) = R+9 (г) S+2 (G), O1 (г, G) = R+1 (г) S+1 (G), (231)
k (г, 0) = fe (г) S+1 (0), s (г, G) = s (г) S+2 (G),
где функции угловой переменной S+2 (G) и S+1 (G) — нормированные собственные функции уравнений
27I1^2S+2 - -(a2Sfг, ^AS+1 - -fi2S+1, (232)
її2 - 2я - (Z- 1)(/ + 2). (233)
Кроме того, функции S+2 (G) и S+1 (G) связаны соотношениями (ср. с уравнениями (281) и (282) гл. 4)
S2S+2 - (xS+,, 57IiS+I - -LiS+2. (234)
Именно вследствие этих соотношений подстановки (231) приводят к разделению переменных в уравнениях (222)—(225), и в результате получается система связанных уравнений для радиальных функций:
[iR+2 - (2>о + 3/г) R+1 = —2k (ЗМ - 2Q2Jr)1 (235)
Д (SDt - 3/г) R+2 - (а#+1 = +2s (ЗМ - 4Q2Jr)9 (236)
(S)0 + 3/г) s + (iA = R+Jr1 (237)
A (SDt - 3/г) ? + lis - 2#+і/л (238)
Систему связанных уравнений (235) — (238) можно расцепить, если ввести функции
F+1 = Я+2 f <7i%> G+1 = R+1 -f fts/p,
= #+2 f <72*/ц, G+2 - #+1 + <fcS/(a,
где qx и ^2 имеют тот же смысл, что и в § 42 (уравнение (149)). Складывая теперь уравнение (236) с умноженным на ^1/р, уравнением (238), получаем
A (SDt - 3/г) F+1 = [iR+l + 2s (ЗМ + ^2/liV) - qxs + 2q{R+J[ir =
= (аЯ+і + </2s + 2qx (R+1 + q2s/[i)/[ir =
= (a (1 + 2qjy?r) (R+1 + Q2SZ1I) = (a (1 f 2^/liV) G+2. (240)
При преобразовании правой части были использованы соотношения (152) между q1 и q2. Очевидно, справедливо и уравнение, получающееся из уравнения (240) перестановкой индексов 1 и 2. Оба этих уравнения могут быть записаны единообразно:
D (SDt - 3/г) F+* = (a (l + 2qd\i2r) G+1 (і, / = 1, 2; / ф /). (241)
Условимся, что всюду далее до конца главы индексы і и j будут принимать значения 1 и 2, но і Ф /, и мы не будем определять индексы і и j в каждом отдельном случае.
44. Описание возмущений
243
2>0X+j = її (r6/A2) (1 + qj/tfr) Y+i. (245)
Комбинируя подобным же образом уравнения (235) и (237), получаем уравнение
(2D, + 3/r) G+1-Ml+ Яі!\?г) F+j. (242)
Полагая
F+1 = (W)Y+U G+j = r*X+j, (243)
приведем уравнения (241) и (242) к виду
SDtY+1 = [і (А//-6) (1 + 2rfr) X+h (244)
^y(kv+/ — mV6
Поскольку
-S-^—ЖГ+іа^А+, = to = Л_, (246)
уравнения (244) и (245) можно переписать следующим образом: A_Y+i = и (А2/г8) (1 + 2qt/V?r) X+,, (247)
A+X+, = и (rVA) (1 + <7,./jiV) F+,. (248)
Наконец, исключая X, получаем пару уравнений для Y:
A2Y+1 + P1AY+1 - QtY+1 = О (i = 1, 2), (249)
где
/>, = +- In (r*/Dt), D1 = А2 (1 Ь 2?г/>2г), (250)
Q; = .и2 (А/г1) (1 + 2qt/V?r) (1 f <7,/ц*г). (251)
Такая же процедура позволяет получить из второй группы уравнений (226)—(229) пару сопряженных уравнений
A2Y_t + P1A+Y_t - QiY_і = 0 (252)
с помощью следующих подстановок:
