Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
добные геодезические общего вида. Можно классифицировать и проанализировать различные случаи (как в § 19 для метрики Шварцшильда). Ясно, что те геодезические в пространстве-времени Рейсснера—Нордстрема, которые пересекают горизонт событий, будут существенно отличаться от соответствующих геодезических в геометрии Шварцшильда: последние обрываются в син-
Рис. 15. Изотропная геодезическая при критическом значении прицельного параметра Dc, полученного из уравнения (78) для = 0,8. Внутренний и внешний горизонты показаны штрихпунктирными окружностями, пунктирной линией изображена неустойчивая круговая орбита. Траектория в действительности пересекает внутренний горизонт, но почти сразу обрывается. Единицей длины вдоль осей координат служит величина М.
гулярности, тогда как первые обрываются (формально) в некоторой точке под горизонтом Коши. Достаточно проиллюстрировать это различие на примере орбит второго рода, связанных с устойчивой и неустойчивой круговыми орбитами.
Для круговых орбит справедливы соотношения
f (и) = _Q2M4 + 9Mu* - (1 + QI/L2) и2 + [2Mu - (1 - E2)]/L2 - 0,
(89)
/' (и) = —4Qlu* + 6Mu2 - 2(1+ Q2JL2) и + 2M/L2 =, 0. (90)
40. Геодезические в пространстве-времени Рейсснера,— Нордстрема 223
Из этих уравнений следует, что энергия E и проекция момента количества движения L тела на круговой орбите радиуса rc = = \/ис равны
(I-2Мис-{-Q2u2V
V с г ^ с) ^
E1
1 -Шис + 2(?2М2
-. (92)
uc(\-3Muci-2Qyc)
Из этих последних уравнений следует, в частности, неравенство
1 - 3Muc-\-2Qiul>0. (93)
Сравнение неравенства (93) с уравнением (74) показывает, что минимальный радиус времениподобной круговой орбиты равен
L2/M'
\ \ U
Ц-0,5Л/2
H M2
< I I I I I
2 3 4 5
6 7
г/М
2 4 б 6 10 12
Рис. 16. Зависимость E2 (слева) и L2 (справа) от радиуса круговой орбиты. Различные кривые соответствуют указанным различным значениям Ql.
радиусу неустойчивой круговой фотонной орбиты. На рис. 16 показаны зависимости E и L от радиуса круговой орбиты.
Если EwL имеют значения (91) и (92), соответствующие круговой орбите радиуса rc = 1/иСУ то уравнение (67) принимает вид (ср. с уравнением (79))
(їїнт)2 = (и - ucf[-QW г 2 (M~Qluc) и + {M-QIu0-MуVuI)ис].
(9J)
Помимо круговой орбиты радиуса rc = 1/«с уравнение (94) допускает еще следующую орбиту второго рода (ср. с уравнением (80)):
Ф = ± j {-QW -h 2 (M - QX)" +
(Af - QW — MlL-ul) u?]-|/2 {и - uc)~l du. (95)
Подстановка
1 = (и- ut)~l (96)
приводит к решению (84), но теперь
Ь =-- 2(M - 2QW), C = Uc(SM Q. t M-/L2u;). (97)
224
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
Пример орбиты второго рода, связанной с устойчивой круговой орбитой, показан на рис. 17, а. Если круговая орбита неустойчива, то орбиты и первого, и второго рода могут быть вычислены исходя из одной и той же формулы (84) (случай с<0). Пример Таких орбит приведен на рис. 17, б.
Минимальный радиус устойчивой круговой орбиты определяется из условия, что функция / (и) при соответствующем обрат-Ном радиусе имеет точку перегиба, т. е. система уравнений (89) и (90) должна быть дополнена уравнением
/>) = — 12Q2 а2 + 12Mu -2(1+ Q2/L2) - 0. (98)
Исключая L2 с помощью уравнения (92), получаем
4QImU - 9MQIu2C + 6M2Uc -M = O1 (99)
или иначе
г? - 6MrI + 9Qlrc - 4QI/M = 0. (100)
(Заметим, что при Ql = 0 уравнение (100) дает rc = 6М в полном согласии с результатом, полученным для метрики Шварцшильда).
Если выполнены все три условия (89), (90) и (98), то уравнение (67) принимает следующий вид:
(•^)2 = (" - "')3(2Л1 - 3Q*"' " Qs*")- (101)
Решением этого уравнения является функция (ср. с уравнением (165) гл. 3)
2 (/И — 2Qluc)
11 = uc + (M -2СХ)>-Ф0)2 + <?; ' (102)
Пример такой орбиты показан на рис. 18.
в. Движение заряженных частиц. Пробная заряженная частица не может, разумеется, описываться геодезической в геометрии Рейсснера—Нордстрема. Движение такой частицы определяется лагранжианом
- № - X (?)* - <- (¦?)* - т\ +
+ 1И9±- JJL (ЮЗ)*
(q — удельный, на единицу массы, заряд пробной частицы), поскольку единственной не равной нулю компонентой векторного
* Такое выражение для лагранжиана соответствует уравнению движения Лоренца
dV і dxm
dx2 Я m dx *
40. Геодезические в пространстве-времени Рейсснера—Нордстрема 225
T
а
pi і-_і_і_і_і_і_і
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
і-~i-т~-—і-Г
6
_о L__i™-1-_J_I__.....S__„±__1__
-3 -6 -4 -2 0 2 4 G P Рис. 17. а — орбита второго рода, связанная с устойчивой времениподобной круговой орбитой, обратный радиус которой равен ис = 0,15, a Q* = 0,8; б — времениподобная круговая орбита (ис = 0,2225), когда орбиты первого и второго рода сливаются. В обоих случаях орбиты второго рода пересекают внутренний горизонт, но сразу же обрываются. Горизонты показаны штрихпунктирной линией, единица длины вдоль осей координат равна М.