Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
(17)
#1212
= Є'2»* [Ll3, 22 + ЦЗ,2 ((X3 — N. 2 — М-3, 0М-2.0І,
(18а)
#1010
= Є-2**2 |>3, 00 + ЦЗ,0(И-3 — N,0 — ^3,2^2,2],
(186)
#1210
= ^2»1« [^3.20 + ^3.2^3 - Ll2), 0 - М-З.ОМЯ.2],
(18в)
#1313
= _в-2^з + е-2». [([Хз>2)2 (fX30)2L
(18г)
#2020
= Є~2^ (Ll2, 00 — М-2. 22).
08д)
Рассмотрим
следующие уравнения, которые являются
ком-
бинациями уравнений (17):
^1212 "Ь 1010 = 0> 1210 = 0>
1212 ~Ь 1318 - ^1010 = 0> ^0202 "Ь 1313 = 0- (19)
Подставляя выражения (18) для компонент тензора Римана в уравнения (19), получаем
[(Є*»). 2в-»*«1. 2 + [(в*1*), 0<Г-М. 0 + (ЄН 0(Є-^), 0 + (^°). 2 (^), 2 - 0,
(20)
(в*.). O2 - (^), 2^2.0 - (**•). 0 Ц2. 2 = 0, (21)
Є2М.2 _|_ |ЄЦ3 (вД,) 00 _ е'М (ЄМ.Я) 22 [(ЄИз) 0]2 _ 2]2| = 0, (22)
Є'2»* (Щ. 00 - Ц2, 22) - Є"2аз + Є-*'-*»' {[в»4'). 2Р - [(в»1»). О]2} = 0.
(23)
Полагая
/ = ези., -2 = еа\ (24)
перепишем уравнения (20)-(23) в следующем виде:
/ (Z122 + Z.oo) - (Z12/, 2 + Z, о/, о) = 0, (25)
2/Z,o2-(Z,2/.o + Z,of,2) = 0, (26)
/ + Z (Z.oo - Z,22) + (Z.o)2 - (Z, 2)2 = 0, (27)
(1/2/) [(In/),00 - (In /),22] - Z"2 + (1/Z2/) [(Z, 2)2 - (Z, 0)2] - 0. (28)
Комбинируя уравнения (25) и (26), получаем
/ (Z.oo ± 2Z.02 + Z,22) - (Z, 2 ±Z, о) (/, г ± /. о) = 0, (29)
а уравнение (28) можно упростить, воспользовавшись уравнением (27):
V2 [(In /),оо - (In /),22] + Z"1 (Z.oo - Z.22) - 0. (30)
Наконец, возвращаясь к первоначальным переменным а и у, получаем следующие уравнения:
/Z,UU-Z,„/,u = 0, (31)
/Z,TO-Z.,/,„ = 0, (32)
л*
100
Глава 3. Пространство-время Шварцшильда
f + Z,uv + Z,uZ,v =--0, (33)
V2 (In /). wo Ч- Z-1Z1 = 0. (34)
а. Решение уравнений. Переписывая уравнение (31) в виде Z1 „„IZ. (35)
заключаем, что
/ = B(V)Z, и, (36)
где В (v) — произвольная функция v. Подобным же образом из уравнения (32) находим
f = А (и) Z.v, (37)
где А (и) — произвольная функции и. Переписывая теперь уравнение (33) в двух альтернативных формах
f +(ZZ. ,),„=-0, / + (ZZ. „).„== 0 (38)
и подставляя вместо / выражение (36) или (37), получаем
[B{v)Z + ZZ,v],„ = 0, [A(U)Zi- ZZ.„].«, = <). (39)
Таким образом,
Z,u = —Л (и) + F (u)IZ, Z,, = —В (V) + G (v)lZ, (40)
где F (и) и G (v) — другие произвольные функции указанных аргументов. С помощью уравнений (36), (37) и (40) получаем
Z, „Z, „ = —Л (и) Z1«, + F (и) Z, V/Z = — f + F (u) Z. 0/Z =
= -В (V) Z,ui-G(v)Z,uIZ = -f + G (v) Z. U/Z, (41)
откуда следует соотношение
F (U)ZJZ = G(V)ZJZ. (42)
Объединяя уравнения (36), (37) и (42), имеем
Z.u _ F (и) _ Л (я) ,доч
Zit, - G(i-) _ B(v) ' W
Следовательно,
J^L = GiE) = const = 2Af, (44)
Л («) ? (у) v '
и мы получаем решение
Z,u = -Л (ы) (1 — 2MIZ)9 ZtV =—В (v) (I — 2M/Z); (45)
/ = —Л (и) ? (v) (1 — 2M/Z). (46)
Несложно проверить, что это решение удовлетворяет также и уравнению (34).
Смысл соотношений (45) становится яснее, если их записать следующим образом:
dZ = —(1 — 2MlZ) [А (и) du + В (и) dvl (47)
17. Метрика Шварцшильда
101
Из этого уравнения следует, что Z зависит от и и v таким образом, что в плоскости (и, V) можно начертить кривые Z = const. Последнее утверждение составляет содержание теоремы Бирк-гофа, к которой мы еще вернемся в п. (в) настоящего параграфа, а также в § 18.
Наконец, выпишем явно метрику Шварцшильда:
ds2 = — 4 (1 — 2MlZ) А (и) В (v) du Av-Z2 dQ2. (48)
б. Координаты Крускала. Две произвольные функции А (и) и В (v) в решении (48) для метрики обусловлены свободой в выборе координат на U2: вместо и и v можно выбрать некоторую функцию и и некоторую функцию v. Возможность произвола в выборе калибровки заложена в самой структуре формул: произвольные функции А (и) и В (v) входят лишь в комбинациях А (и) du и В (v) dv как в метрику (48), так и в решение (47) для Z. Однако, выбирая функции и и v в качестве координат на U2, следует соблюдать осторожность, чтобы не ввести при этом фиктивную координатную сингулярность (в особенности при Z = = 2М, как явствует из вида метрики). Появление сингулярности в этом случае означает лишь, что выбранные координатные функции действуют не глобально, а в строго определенных окрестностях многообразия.
Следующий выбор координатных функций позволяет избежать появления нефизических сингулярностей:
—А (и) du 2М d In Uy —В (v) dv 2М d lnu. (49)
При этом
dZ = 2Af (1 — 2MlZ) d (In (uv) ], (50)
ds2 - — (IbMVuv) (1 — 2MlZ) du dv — Z2 dQ2. (51)
Интегрирование уравнения (50) дает
\uv\ = C\Z-2М\е^2М, (52)
где С — постоянная интегрирования. Выбирая
С = (2M)-1 (53)
и заменяя Z обычной радиальной координатой г, получаем метрику Шварцшильда (51) в форме Крускала:
ds2 = — (32MVr) е-'!™ du dv - r2 dQ2, (54)
где г связано с uv соотношением
uv = (1 — г 12M) ег1ш. (55)
Найдем область изменения координат и и V1 в которой метрика определена.
Заметим, что соотношение (55) между г w uv является двузначным, если разрешить г принимать отрицательные значения. Сле-довательно, две ветви этого соотношения при г > 0 й г < 0
