Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
k(a) (Ь) (с) = в\а) [Є{Ь) i, j — Є{Ь) j, і] Є{с)- (82)
Результат вычислений этих символов может быть записан в компактном виде с помощью производных (формула (49)), введенных в § 13. Однако, поскольку теперь мы не хотим вводить мнимую координату х4 = /х°, заглавные латинские буквы (A1 B1 ...) пробегают значения 0, 2, 3. Кроме того, обозначим
Яо = (о (83)
Определения. 1. Производная (49) функции f (х°, х1, х2, х3) по .аргументу хА (А = О, 2, 3) равна
f:A = f.A+q*f.l. (84)
2. Оператор ФА, действуя на / (х°, х1, х2, х3), дает
Фа! = f.A + qA. if = f,A + Ы), і. (85)
3. QaB = ЯАіВ — ЯВ:А- (86)
4. W a = y:A + qA.i = <r*SDA (**). (87)
В этой связи интересно отметить простую связь производных (49) с производными по направлению вдоль касательных векторов е(а):
W = *-V/:0> ei2)f = <r-»*f:2, *<3)/ = ^«/:3, *0)f = 1- (88)
Используя предыдущие определения, получаем для Х-сим-волов следующие выражения:
А/100 =
—V, \Є~
Л ^110 = -
^223 =
—[^2:3^3,
^200 =
—v:?e~
^2, ^112="
» А#33 =
: +^3:2^2,
^300 =
—v:3e-
^3, Ьиз = -
^210 =
(89)
А/122 ~"
|ы2, \е-Ъ,
> ^220 = -
-Ц2:0*~\
^310 =
^133 ~
> ^330 ~ -
—|bt3:0^""V,
^213 =
Коэффициенты вращения Риччи
7(e) (fr) (<
:) определяются по
фор-
мулам (ср. с
уравнением (268)
гл. 1):
7(a)
(Ь) (с) =
V2 №(а) (ft) {с)
+ ^(с) (а
) (ft) — k(ft) (с) (а)],
(90)
7юо
—V, їв-*,
7Ю1 - -
-W0e-\
Y200 --
—V :20-^2,
7121 =¦ -
-W2e-^-t
7зоо =
—V1 з^-^3,
7131 = -
-W3e~^\
Ї122 =
ИМ*"*.
Y202 = -
-|bt2:0^—V»
Yi33 =
7зоз = -
-f^3:Q^-V?
(91)
15. Уравнения Максвелла
95
Ї233 =
^3:2^2,
Ї232 :
- —№>:ЗЄ-*Ч
Vl02 ~
72Oi = —
-7120 =
V2Q2o^-^2-v,
Тюз ~
Ї301 = —
~7ізо ¦--=
V2Q3o^-^3-v,
Yl 32 -
7231 ~ -
-7123
1/2Qo3^~^2~^3
15. Уравнения Максвелла
Завершим главу выводом уравнений Максвелла в пространстве-времени с выбранной метрикой. Проще всего это сделать в тетрадном формализме, описанном в § 14.
Уравнения Максвелла
T|<»)<«)F(a) WK«) = 0, FtCe) WICOJ = O (92)
в ортонормированном базисе, выбранном в предыдущем параграфе, принимают вид
e-VFa0:0 - er*Fa\. 1 - e~^F а2:2 ~ e~^Fa3:3 =
= —Fol (70fll — 7l во) — F02 (Vo a2 — 72 ao) — F03 (Vo a3 ~ 73 ao) + + Fi2 (7la2 — 72al) + F23 (72a3 — 73a2) + F31 (Уза\ ~ Уш) + + Fa\ (—7l00 ~T~ 7122 + 7ІЗ3) + FQ2 (—7200 + 7211 + 72ЗЗ) 4"
+ F03 (—7300 + 7311 + 7322) + Fao (7ioi - 7202 + 7зоз). (93)
Flab, c] +- Jj (—yOacFob +- y\acF\b + Y2a<?F2fc -f- y3aCF3b ~ yobcF a0 + [a, fc, c]
+ yibcFai + 726cfa2 + 736cFa3) ^ 0. (94)
Явное выражение в левой части уравнения (93) получено с помощью формулы (88), связывающей производные (49) с производными по направлению вдоль контравариантных базисных векторов (81).
Подставляя теперь в уравнения (93) и (94) коэффициенты вращения Риччи из уравнений (91), после простых, но длинных преобразований, получим следующую систему восьми уравнений:
S)3 (eP+^Fn) - @2 (eb+V'Fu) -f (^2+^F23), і = 0, (95а)
S)2 (e*+vF0i) + S)0 (eV+V'Fn) - (ev+^F02), і = 0, (956)
S)3 (**+vFoi) + S)0(**+*» F13) - (^3F03), і = 0, (95в)
(^.+l*.Foi):0 + (eV+^Fl2):2 + (eV+^2F13):3 =
- ^+^F02Qo2 + ^¦F03Q03 - ^+VF23Q23, (95r) S)2 (^+»-F02) -f S)3 H+^2F03) + (e»*+»*Foi), і = 0, (95д)
—S)2 (^F23) + ^o(^+»¦F03) - (^2+vFi3), і = 0, (95e) + S)3 H+VF23) + S)0 (**+»*»Fo2) - (^3+vF,2). і - 0, (95ж)
(^+»¦F02)* - (eV+^FQ3):2 + (^2+^F23):0 =
- ^+vFoiQ23 + e^Fl2QQ3 - ^+^F13Q02. (95з)
96
Глава 2. Пространство-время достаточно общей структуры
Не все из этих восьми уравнений линейно независимы вследствие существования следующих легко проверяемых коммутационных соотношений:
ЗД,і) = /:л,ь {Ф2Фв-ФвФа)Г=-(QABf). і- (96)
Например, действуя операторами S)0, —S)3 и S)2 на уравнения (95а), (956) и (95в) соответственно, складывая и упрощая с помощью коммутационных соотношений, получаем [_Q03^+n2/712 + Q02^+^f13 _ Q23^+vFoi +
+ (e^>F23):0 + (ev+^F02):3 - (ev+^Foz):o], 1 - 0. (97)
Ho это уравнение удовлетворяется тождественно в силу уравнения (95з). Подобным же образом, действуя операторами J)0, —S)3 и —S)2 на уравнения (95д)—(95ж) соответственно, складывая и упрощая с помощью коммутационных соотношений (96), находим, что результирующее уравнение тождественно удовлетворяется в силу уравнения (95г).
Таким образом, у нас есть метод, позволяющий легко записывать в явном виде уравнения Эйнштейна и Эйнштейна—Максвелла в пространстве-времени с метрикой (38), не являющемся ни стационарным, ни аксиально-симметричным.
Библиографические замечания
§ 11. Дж. Бардин был, очевидно, первым, кто понял преимущества такого вида метрики для описания стационарного аксиально-симметричного пространства-времени:
1. Bardeen J. М. Astrophys. J., 161, 103—109, 1970. См. также
2. Bardeen J. M., Press W. #., Teukolsky S. A. Astrophys J., 178, 347—369, 1972. § 12. Теорема, названная нами теоремой Коттона — Дарбу, о возможности
