Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Приводя те же аргументы, что и в начале главы, нетрудно показать, что метрику сферически симметричного пространства-времени можно записать в следующем общем виде:
гДе /оо> /о2> /22 и ё — функции только двух переменных г и /. Преобразованием координат, в которое входят эти переменные, можно добиться равенства нулю /02 и равенства g квадрату яркостного расстояния г. Ясно, что такое преобразование возможно в некоторой открытой окрестности, но совсем необязательно — глобально. Действительно, результаты предыдущего параграфа свидетельствуют как раз о том, что такое преобразование невозможно во всем пространстве-времени. Это преобразование приводит метрику к виду
,ds2 =
/оо W
і2 + 2/02 dr dt + /22 (dr)2 + g dQ\
(61)
ds2 = e2v (dt)2 - e2^ (dr)2 - r2 [(d9)2 + (Жр)2 sin2 9],
(62)
18. Альтернативный швод метрики Шварцшильда 105
где V и (X2 — функции t (=х0=—Ix*) и г (=х2). Это частный случай метрики, рассмотренной нами в гл. 2, в которой
V = IX41 JLl3^In/-, Ip = lnr+ ІП Sin 0, ft, 2 = /'""1,
Чг4 _ о, W1 = 0, Y2 = r"i, = ctg Є. (63)
Используя'результаты гл. 2 (уравнения (75а) — (75х)), находим ненулевые компоненты тензора Римана:
—#1212 = —#2323 =¦¦= Г-1е-2^*\12,п —#1414 = —#3434 = —r-le-?^Vt г,
—#2334 = +#1214 = —r-'*-v-"4i2.4> (64)
-#1313 = Г'2 (1 - Є-**'),
—#2424 = — e~^-V [(^->2)4), 4 + (^'V1 г), г].
Следует помнить, что это тетрадные компоненты при следующем выборе базисных векторов:
е(а)
ev
0
0
0
0
—г sin 9
0
0
0
0
-?И:
0
0
0
0
(65)
Уравнения поля требуют равенства нулю тензора Риччи. Следовательно,
— #42 = #1412 + #3432 "-"= —2/-1*-^«?. 4 =- 0, (66)
откуда получаем
(X2 = (X2 (г). (67)
Из уравнения
-#44 + #22 — #1414 + #3434 - (#1212 + #232з) = 0 (68)
находим
(Щ е-2»* (V+ \i2),r = 09 (69)
откуда
V = -ft (г) + / (*), (70)
где f (t) — произвольная функция t. Не теряя общности, мы можем положить f (t) = 0, потому что этого же можно добиться переопределением временной координаты t, заменив ехр (/ (f)) dt на dt. В результате имеем
v = -ft, (71)
причем и V, и ft — функции только г. Тот факт, что компоненты метрики в силу уравнений поля не зависят от t, хотя это требование специально и не налагалось, — еще одно следствие теоремы Биркгофа: пространство-время вне сферической массы с необходимостью статично.
106
Глава 3. Пространство-время Шварцшильда
Рассмотрим уравнение
-#33 ~ #1313 ~Ь #2323 ~Ь #4343 ~ 0. (72)
Подставляя из уравнений (64) выражения для тензора Римана, находим
—2|і2)Гг-^-2^ = г-Ц1 - е-2^). (73)
Это уравнение имеет следующее решение:
е-2м2 = і _ 2MIr (=e2v), (74)
где M — постоянная интегрирования. Нетрудно проверить, что решение (74) обеспечивает равенство нулю и остальных компонент тензора Риччи.
Заметим, наконец, что ненулевые компоненты тензора Римана для метрики, определяемой решением (74), равны
— #(1) (3) (1) (3) =¦ #(2) (0) (2) (0) =- 2Mr'3, #(1) (2) (1) (2) =
= #(2) (3) (2) (3) - —#(1) (0) (1) (0) = —#(3) (0) (3) (0) = Mr'3. (75)
Индексы взяты в скобки для того, чтобы подчеркнуть тетрадную природу этих компонент в локально инерцальной системе отсчета, заданной базисными векторами (65). Все ненулевые компоненты тензора Римана расходятся при г = 0 — это проявление сингулярности пространства-времени Шварцшильда при г = 0.
Для получения ковариантных компонент тензора в той же системе координат, в которой записана метрика Шварцшильда, мы должны подвергнуть тетрадные компоненты (75) по каждому индексу преобразованию (65). В результате получим
#ою1 - —Mr-W sin2 9, Rom = —Mr-}e»,
#i2i2 = +Mr-*e-*> sin2 9, R2123 = +Mr~*e-*\ (76)
R1313 = —2Mr sin2 9, R0201 = 2Mr-K
Напомним, что
= 1 — 2MIr (77)
и что индексы 0, 1, 2 и 3 обозначают соответственно координаты t, ф, г и 9.
19. Геодезические в пространстве-времени Шварцшильда: времениподобные геодезические
В гл. 1 (§ 6, а, уравнение (203)) мы показали, что уравнения геодезических в пространстве-времени с линейным элементом
ds2 = gtj dx1 dx/ (78)
могут быть получены из лагранжиана
2* = (79)
19. В ремениподобные геодезические
где т — некоторый аффинный параметр на геодезической. В случае времениподобных геодезических т можно отождествить с собственным временем s частицы, движущейся по геодезической.
В случае пространства-времени Шварцшильда лагранжиан принимает вид
S = V2 [(1 - 2MIr) i2 - r2/(l - 2MIr) - г2е2 - (г2 sin2 9) ф2], (80)
где точка означает дифференцирование по т. Соответствующие канонические импульсы равны
д? / , 2М \ . д? і. 2М \-i .
pv = ~ "ff~ = (r2sin29) Ф' Р* = — "Ц" = ^2O-
(81)
Результирующий гамильтониан имеет следующий вид:
Ж - ptl - (ргг + /7е9 -f РФФ) (82)
Равенство гамильтониана лагранжиану свидетельствует о том, что в задаче не участвует «потенциальная энергия»: полная энергия равна «кинетической энергии», как явствует из выражения (79) для лагранжиана. В силу той же причины гамильтониан и лагранжиан постоянны:
