Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь поле 4-скоростей. Пусть в некоторой точке в координатном базисе 4-скорость равна
и0 = dtfds -- e-v (1 - F)-1/2, их = dcp/ds == Qu0, иа --= dxa/ds = u°ua
(а = 2, 3), (21)
где
Q = dyldt, V* = dxaldt (а =2, 3), (22)
V2 = Є2 ^~V> (Q - G))2 + Є1 (.,2)2 _j_ (H3^V) ^3)2. (23)
В локально инерциальной системе отсчета 4-скорость в той же точке равна
И(в, = е{вУ = л(в)(%)^. (24)
или, как легко показать,
U(0) = (\- У2)"1/2, = ?1>-V(Q - СО) (1 - V2)-1^
и«*> = (1 - F)-l/2 ехр(Иа _ v^a (а = 2> 3). (25)
Таким образом, точка, описывающая круговую орбиту (собственной длины леЪ) с угловой скоростью Q в выбранном координатном базисе в локально инерциальной системе отсчета, будет иметь угловую скорость
e*-v (Q — co). (26)
Соответственно точка, покоящаяся относительно локально инерциальной системы отсчета (т.е. w(l> = и{2) = и{3) =0), в коор-
84
Глава 2. Пространство-время достаточно общей структуры
динатном базисе будет иметь скорость со. Это явление называется увлечением инерциальной системы отсчета. В гл. 6 мы покажем, что в асимптотически плоском пространстве-времени с метрикой (17)
о) -> 2./Г3, (27)
где J — постоянная, интерпретируемая как момент количества движения.
12. Пространство-время необходимой общности
В этом параграфе мы обобщим линейный элемент (17) таким образом, чтобы охватить случаи, когда метрика не является стационарной и аксиально-симметричной. Основная цель такого обобщения — исследование возмущений метрик, которые являются статическими и сферически симметричными или стационарными и аксиально-симметричными.
Ограничимся поначалу исследованием пространства-времени, которое остается все время аксиально-симметричным, т. е. рассмотрим метрику, зависящую от но не зависящую от ср. Пусть метрика в контравариантной форме имеет вид
g =¦ g"d|d,. (28)
Тогда по предположению все компоненты метрики gli — функции только х°, X2 и X3. Покажем, как локальным координатным преобразованием переменных х°, х2 и х3, не затрагивающим переменную х1, можно привести ЗхЗ-матрицу [gli] (і, j -=0, 2, 3) к диагональному виду.
Теорема (Коттона—Дарбу). Метрика
g~«W, (і, / = 0, 1, 2) (29)
в трехмерном пространстве (х°, х1, х2) всегда может быть приведена локальным координатным преобразованием к диагональному виду.
Доказательство. Отметим прежде всего, что выбором геодезической системы координат метрика может быть приведена к виду
g = ео(д0)2 + g*?cV? (е° = ±1; а, ? - 1, 2). (30)
[Геодезическая система координат строится следующим образом: выбирается поверхность /(Jt0, х1, x2), такая, что g?Jf9 */,7- Ф 0, геодезические, нормальные к поверхности / = 0, служат координатными линиями х°, а координаты х1 и х2 выбираются на поверхностях, геодезически параллельных поверхности /. ] Рассмотрим преобразование координат
#' = ф''(х9, x', x2) (Г — 0, 1, 2), (31)
где ф1' — функции х°, xі, x2, которые мы хотим определить, исходя из требования диагональности метрики (30) в новой системе
12. Пространство-время необходимой общности
85
координат. Условия диагональности, очевидно, имеют следующий вид:
8 дХо дхо ~ГВ дха дхр
№> П = (0, 1), О, 2), (2, 0)], (32)
или в явном виде
дФ1
дФ2
дхо
дхо
дФ2
дф<>
дхо
дхо
дфО
дФ1
дФ1
дФ*
дха
дх$
дФ2
дфО
дха
dxV
дф<>
дФ1
дха
дх$
дх* ОХ* &
Следовательно,
дФ» _ і K1K2 У/2 а*1 _ / K2K0 У/2 д4>2 / /(о/С1 у/2 П4\ dx° ~ \ е°К° ) 9 дхо ~ \ еОК1 ) 9 дх<> \ е*К2 ) ' ^ '
Предположим теперь, что ф°, ф1 и ф2, рассматриваемые как функции двух переменных Xі и X2, заданы на поверхности, скажем, х° = 0 и что /С0, /С1 и /С2 нигде на поверхности не равны нулю и удовлетворяют обычным условиям гладкости. Тогда, по теореме Коши—Ковалевской, существуют и однозначно определяются функции ф°, ф1 и ф2, которые удовлетворяют системе уравнений (33) и на поверхности х° = 0 сводятся к заданным функциям двух переменных. Существование локальных преобразований координат, приводящих метрику в трехмерном пространстве к диагональному виду, таким образом, установлено.
Возвращаясь к метрике, соответствующей нестационарному аксиально-симметричному пространству-времени, можно в соответствии с только что доказанной теоремой положить
g°2 = g03 = ^23 = о (35)
Диагональные коэффициенты запишем следующим образом:
g00 ^ ?-2v. g22 _?-2!Л2; ^33 = _^2ц3) (36)
где V, |я2 и |я3 — функции х°, X2 и Xs. Остальные коэффициенты тензора g(i удобно представить в виде
gn = o)2e-2v _ er** _ q\e-^> _ q\e-^\ (37)
где a), q2, q3 и \|) — также некоторые функции переменных х°,
X2 и X3.
Ковариантная форма этой метрики имеет следующий вид: ds2 = e2v (dO2 - е2* (dq> - q2 dx2 - q3 dx3 - со d*)2 -
- e"»* (ах9-)2 - ё1^ (dx3)2. (38)
86
Глава 2. Пространство-время достаточно общей структуры
Сравнение показывает, что метрика (38) является в некотором смысле естественным обобщением метрики (17), допуская нестационарность. Заметим также, что теперь мы потеряли свободу калибровки, которую имели в стационарном случае, и не можем наложить дополнительное координатное условие с целью фиксировать вид функций |я2 и |л3.
