Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Метрика (38) содержит семь функций v, if, |i2, pi3, q2l q3 и со. С другой стороны, поскольку уравнения Эйнштейна ковариант-ные и потому существует только шесть независимых уравнений для метрических коэффициентов, семь функций должны появляться в уравнениях поля только в шести независимых комбинациях. Как это должно происходить, можно понять, рассмотрев следующее преобразование:
[*J = Xі' + /(JC0', х2', х3'), Xі = X'' (І = 0, 2, 3). (39)
Это преобразование меняет только метрические коэффициенты gu (І =0, 2, 3)
gi'v = in + gnf, t, или (gw - gn)lgn = /. і (і = 0, 2, 3). (40)
Из условий интегрируемости этих соотношений следует, что комбинации
<*>, 2 — 02,0, ю. 3 — 03.0, 02,3 — ^3,2 (41)
инвариантны относительно преобразования (39). Функции со, <72 и появляются в уравнениях поля только в комбинациях (41) (этот факт мы позднее проверим). Комбинации (41) удовлетворяют следующему тождеству:
К 2 — 02,0), 3 - (О), 3 - 03,О), 2 + (02,3 — 03,2), 0 = 0. (42)
Поэтому семь функций, через которые мы выразили метрические коэффициенты, появляются в уравнениях поля (как уже указывалось) в виде лишь шести независимых величин.
Метрика (38), полученная для нестационарного аксиально-симметричного пространства-времени, может быть приложима и к многообразиям, не обладающим аксиальной симметрией, метрические коэффициенты которых допускают выделение переменной Xі (=ф), т. е. когда
g'/(x°, х\ х2, X3)- gu (х°, X2, хз)/і(х1), (43)
где h (х1) — некоторая функция х1. Очевидно, что в этом случае координатным преобразованием переменных х°, х2 и х3, оставляющим неизменной координату х1, можно сделать равными нулю метрические коэффициенты g-02, ^03 и g23: общий множитель h (х1), появляющийся при этом в уравнении (33), не повлияет, разумеется, на результат. Чтобы сделать возможным нужное обобщение на нестационарный случай, мы должны формально считать, что семь функций v, \р, ji2, |я3, 02, ^3 и со зависят также и от переменной xі. В последующих главах станет ясно, что выбранная
ІЗ. Уравнения структуры
87
форма метрики (38) с метрическими коэффициентами, зависящими от всех четырех переменных х°, Xі, X2 и х3, достаточно гибкая и общая и охватывает все нужные нам случаи. Следует также отметить, что и в этом, более общем случае семь функций входят в уравнения поля только в шести независимых комбинациях (см. § 13 и 14).
В остальных параграфах настоящей главы мы выпишем основные выражения и уравнения для случая метрики (38).
13. Уравнения структуры
и компоненты тензора Римана
Нашей целью является запись в явном виде уравнений Эйнштейна для наиболее общей формы метрики, выбранной в предыдущем параграфе, для чего мы выразим компоненты тензора Римана через картановы уравнения структуры. При выводе соответствующих уравнений для сохранения максимальной симметрии введем следующие обозначения:
dt = —/dx4, dt = и?4, v = |я4, о) = iq±, (44)
в которых метрика (38) принимает вид
ds2 = _ ? ё*а (d^)2 - е2* / dx1 - ? qA АхА Y (45)
а \ а і
где заглавные латинские индексы (Л, 5, ...), по которым производится суммирование, пробегают значения 2, 3, 4. Метрика, записанная в виде (45), полностью симметрична по индексам 2, 3 и 4. Следует отметить, однако, что в этой комплексной версии сигнатура имеет вид (—, —, —, —). Напомним также, что \|), V1a и Qa — функции всех четырех переменных х1 и хА (А = 2, 3, 4).
Во избежание неопределенности суммирование по повторяющимся заглавным латинским индексам не будет подразумеваться: суммирование будет, где необходимо, указываться явно (как в уравнении (45)).
В качестве базисных 1-форм, необходимых для применения метода Картана, которые в § 5 обозначались е\ выберем
с/ = е»а dx4, со1 - (dx1 - S qa ахл) . (46)
Эти формы соответствуют выбору ортонормированной тетрады базисных векторов при сигнатуре (—, —, —, —). Обратные соотношения, выражающие 1-формы dxA и dx1 через о)л и со1, имеют вид
dx4 = it11V1, dx1 = <tV + I e^AoA (47)
a
В качестве первого шага при выводе картановых уравнений структуры (гл. 1, уравнения (137') и (149)) выразим внешние
88
Глава 2. Пространство-время достаточно общей структуры
производные форм со через базисные 2-формы со1' Д со'* (і Ф /, і, j = 1, 2, 3, 4). Находим
dcoA = ? е^А в dx3 Л dxA + е^Ау, l dx1 Л d*A -в
= S ^Ha. X Л А + л.1 [e"V + S Л »Л =
= H е~»в (цА, в + Wa11) ©В Л ^ + X Л (48)
В
Для компактной записи уравнений типа предыдущих удобно определить производную функции / (л;1, х2, x3, x4) по координате хА (А = 2, 3, 4), которую будем обозначать
/:л = -b+W.b (49)
Эта операция является дифференцированием, поскольку она удовлетворяет правилу Лейбница:
(fg):A -:fg:A + gf:A. (50)
Используя новую производную, уравнение (48) можно записать в виде
do/ = - 2 ?^>л:БС0Л Л - 10)Л Л о'- (51)
Подобным же образом находим dco1 = S в-^ (і|):Л + Яа, >) <»-4 Л <*>' - S е*-^"Цв7в:л(0Л Л
л л, в
(52)
Вследствие отсутствия кручения первое картаново уравнение структуры (гл. 1, уравнение (137)) дает
