Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
' Ж =-¦S - const. (83)
Меняя масштаб аффинного параметра т, можно сделать 23? = +1 для времениподобных геодезических. Для изотропных геодезических 9? равно нулю. (Пространственноподобные геодезические мы рассматривать не будем.)
Другие интегралы движения получаются из уравнений
dpt _ д2? _0 dx ~ dt ~v>
(1 -Щ «- = const =-- Е, (85)
Имеем
Pt
/?ф = г2 sin2 0-^L = const. (86
Кроме того, из уравнения движения
TT" - ~Зї-- ~ IT - V sm9cos9H-JTi (8/)
следует, что если мы выберем начало отсчета угла 0 так, чтобы 0 = л/2, когда э = 0, то 0 также будет равно нулю, т. е. 0 в этом
Глава 3. Гї ространство-время Шварцшильда
случае остается постоянным в процессе движения. Отсюда заключаем, что геодезическая лежит в одной плоскости, в качестве которой можно выбрать экваториальную плоскость 0 = я/2. Уравнение (86) теперь принимает вид
/?ф = г2 аф/ат = const = L, (88)
где L — момент количества движения относительно оси, перпендикулярной экваториальной плоскости.
Подставляя в лагранжиан значения і и ф из уравнений (85) и (88), получаем
?2 "2 -^r = 23Е - +1 (89а)
1 - 2M/r 1 — 2М/г г
для времениподобных геодезических и
Р2 ;2 T2
t * ,---=—---V = - 0 (896)
1 — 2УИ/Г 1 — 2MY г2 у '
для изотропных геодезических.
В данном параграфе мы будем рассматривать только времени-подобные геодезические (изотропным геодезическим посвящен следующий параграф). В случае же времениподобных геодезических уравнения (88) и (89) могут быть переписаны следующим образом:
(?)' + ('-^)O= W
dcp/dr - L/r\ (91)
Рассматривая г как функцию ф (вместо т), получаем уравнение JjJ-)2 - (?2 _ J) (r2/L)2 _l (2/Vf/L2) г3 - г2 + 2Af г. (92)
Полагая, как это обычно делается при анализе кеплеровских орбит в ньютоновской теории,
и = г\ (93)
получим основное уравнение для дальнейшего исследования:
(^j-)2 = 2МФ -и2 + {2MlL2) и-(1- E2)/L2. (94)
Это уравнение определяет геометрию геодезических в экваториальной плоскости. Если известно решение уравнения (94) для и (ф), то окончательное решение получается в квадратурах прямым интегрированием уравнений
dr/dcp - 1/(Lw2), d*/dq> - EI[Lu2 (1 — 2Mu) ]. (95)
а. Радиальные геодезические. Радиальные геодезические с нулевым моментом количества движения иллюстрируют, несмотря на свою простоту, важные свойства пространства-времени (о ко-
19. Времениподобные геодезические
109
торых упоминалось в § 17). Уравнения этих геодезических имеют следующий вид (ср. с уравнениями (85) и (90)):
(-^)2 = 2MrIr - (1 - Е% -g. = ?/(1 - 2М/г). (96)
Рассмотрим траектории частиц, которые начинают движение из состояния покоя на некотором конечном расстоянии г-г и падают к центру. Начальное расстояние связано с постоянной интегрирования E соотношением (г = rt при г = 0)
rt = 2М/(1 — E2). (97)
Уравнения движения проще всего проинтегрировать, введя переменную г):
г = M (1 — ?V (1 + cos т|) = 2М (1 — ?2)-> cos2 (т|/2) =
= г, cos2 (tj/2). (98)
Ясно, что т] = 0, когда г = ги
1I = Чн = 2 arc sin ?, (99а)
когда геодезическая пересекает горизонт при г = 2М, и
Л = я, (996)
когда геодезическая достигает сингулярности при г = 0.
Перепишем, уравнения, которые следует проинтегрировать, с помощью переменной Y]:
/JlV = (I ?2) tg2(T1/2) —-_? cos» (л/2) no0v
Сюда следует добавить уравнение
dr/dr] = — rt sin (т]/2) cos (tj/2). (101)
Поскольку мы рассматриваем падающие частицы,
dr/dr = — (1 - ?2)i/2 tg(T|/2) = — (2M//-)1/2tg^/2). (102) Из уравнений (101) и (102) получаем
dr/dr] = (r?/2M)1/2cos2(r]/2) -- (r?/8M)1/2(l f cost]), (103)
т = (r?/8M),/2(T| + sln4), (104)
где мы предположили, что т = 0в начальной точке т) = 0. Из уравнения (104) следует, что частица пересекает горизонт, а затем достигает сингулярности за конечное собственное время
хн = (г?/8Л!)|/2 (T1^ +sin T0 = (г?/8Лї)1/2я. (105)
Совершенно другая ситуация возникает, как мы сейчас увидим, если рассматривать уравнение траектории в координатном вре-
по
Глава 3. Пространство-время Шварцшильда
мени t. Для определения t нужно проинтегрировать уравнение (см. (100) и (103))
- E Ш1/2 CQs4(^2>_ (106)
dt dr)
cos2 (т)/2) — cos2 (г\И/2) '
Интегрируя, получаем
* = E (гї/2М)1/2 [V2 (ті + sin л) + (1 - E9) T1] -f
. одл Г tg (V2) +1S(^2) 1
+ 2MlnL tg (V^-tgftfl) J-
откуда следует, что
t -> оо при Tj -> Tjя — О,
в отличие от поведения собственного времени частицы т при подходе к горизонту. Этот пример иллюстрирует тот факт (который
б
(107) (108)
г/М
^шварцшильдовское время T7 соБственное\ время_
10 15 20 Время/Л/
Рис. 3. Изменение координатного времени t и собственного времени т при движении пробной частицы вдоль времениподобной радиальной геодезической из состояния покоя при г = 6М по направлению к сингулярности.
мы установили в § 17, в, из общих соображений), что, с точки зрения наблюдателя, покоящегося «на бесконечности», частице, движущейся по времениподобной траектории, потребуется бесконечное время для достижения горизонта, даже если собственное время при этом будет конечным. После пересечения горизонта частица достигнет сингулярности также за конечное время. На рис. 3 построены графики решений (104) и (108), иллюстрирующие эти факты.
