Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
dec1 - — Ц сел Л <»А> (53)
А
do/ = — 23 Co^ Л и* - Л о1. (54)
в
Эти уравнения позволяют определить 1-формы СВЯЗНОСТИ СОл и сов, если известны формы dco1 и dco'4. Отметим также, что, поскольку 1-формы со1 и сол являются базисными формами орто-нормированной тетрады, из уравнения (197) гл. 1 следует
со) = -col (i9 j=r 1, 2, 3, 4). (55)
Сравнивая уравнения (51) и (52) с уравнениями (53) и (54), заключаем, что
(0ХА = -cof == е~?л (і|),д + ?л, i) о)1 - <Г^л, ісол +
+ V2 S еф-^<2ляоЛ (56) в
(57)
13. Уравнения структуры
89
где
QaB = qA:B — Яв:А. (58)
Вводя теперь обозначения
W л = ур:л + ЯА,и (59)
получаем следующие явные выражения для различных форм связности:
CO2 = e~^W2col - юз2 + V2^2-113Q23Co3'+
O)J - ^4Y4G)1 - «TV !G)4 + 72^^-^420)2 + 72^^43©3,
(60)
O)3 = -72^-^-^^230)1 + : 30)2 - ^3 : 20)3,
0)f = -72^-^^^340)1 + : 4O)3 - <Г>4 : З®4,
(ОІ = —l/^-^^'Q^G)1 + ^^4:20)4 - ^V214O)2.
Чтобы вычислить компоненты тензора Римана исходя из второго картанова уравнения структуры
1IA1IkI** Л = ?/ = do)} + ©і Л 0)/» (61)
необходимо сначала вычислить внешние производные форм связности, перечисленных в соотношениях (60). (В действительности окажется достаточным знать компоненты Q2 и Q3, откуда можно получить все компоненты тензора кривизны, используя симметрию метрических коэффициентов по индексам 2, 3 и 4.)
Необходимые внешние производные форм G)/ нетрудно выписать, если воспользоваться следующей леммой, доказательство которой очевидно:
Лемма. Если F — произвольная функция аргументов х1, х2у Xs и X*, то
d (Fco1) = Ц <Г*-^2>Д (Fe*) о/ Л о)1 +
А
+ V2 ? Fe^A-^BQ^A Л сов, (62)
А, В
d (Fc/) = S в-^А-^в (e^f ):В(ов До/ + g-*-^ (^f)1 1<й' Д с/,
(63)
где iZ5A — оператор, действующий на произвольную функцию f (х1, Xа) следующим образом:
®Af^f:A + qA,lf = f,A+(qAf),l- (64)
(Оператор 2?>А не является оператором дифференцирования. Отметим также (ср. с формулой (59)), что
е~ША = ф: л + <7л, 1 - *Ы (65)
90
Глава 2. Пространство-время достаточно общей структуры
С помощью этой леммы находим
d0)2 =-- E Є-**-»А20а {е*~»*Ъ) 0)Л Л -А
- е-*""' (е^-\2,,), ,(о! Л »2 - V,*-*-*1' (e*-u«Q23). .со3 Л со' -
- 1I^e-*-»* (e*-»'QU), ,СО4 Д o)1 + О)2 Л <»3 1^-2(^-^^2(323 +
+ V8T-I*«-»*' («¦-^•Q2S): 2 + (Є-*+,1«Ц2. і): ЗІ +
+ (О2 Л Ю4 {Є *-2L,2-K.?2Q24 + 1/2e_M2""M'4(el|'~,l2Q24):2 +
_|_ е_ц2_м,4 (е-*+м.2(х2 ,).4j 4- o)3 Д ©4 {^-H2-Ha-H4IJp2Q34 -f
_|_ і/^-Из-и, (^-h2Q24):3 — і/2е-м4-Нз ^-M2Q23)J4}, (66)
C0' Д «>§ = [е-2^?3И2:3 " V^^'^'Q«] Д ^ -
- [6-^-^3^3:2 + 1/їв~>1,~,і,»*3. 1Q23] <»' Д СО3 + 4- [»/!?¦-^«-^«323^3:2 + е-^-^Ц3, lfi2:3] <»2 Д СО3 +
4- 1/4e-l|'~2,l3_,l2',l4Q34Q23C01 Д СО4 — 4^-^-^0,^:3®2 Д Со4 4~
4- »/^-^•-"«?34(13:2®3 Д <»4, (67)
со4 Д со24 - [e-^'W4li2:4 - V.^-2"'-2^^] со1 Л со2 -
_ [е-н,-н4у4(Х4:2 4- 72е-и2-и4И,4 .Qm] о1 Л ©4 4-
+ [1/2^_2tl2_,l4Q24^4:2 + Є—-Ф—М.4|Л4> ,(^4] (О2 Д Со4 —
— 1/2Є*_2№4~Ц!(343И2:4С02 Д СО3 4" 72^-!І2~^~^ф4зИ4:2Сй4 Д й3 +
+ ІДЄ2Ф-2М,-Ii2-HaQ43Q24COl Д СО3, (68)
dco2 - -V2 ? е-*-»АфА (e2*-^Q23) сол Л со1 -л
_ е-і1>-и2(еи2-Изц,2.3) lt02 д юі 4_е-Ч)-нз (еиз-н2^3.2)11СОз Д со1 4-
+ со2 Л СО3 {-^-^-^'Ql - Є-*'-»' (еи2-ЙЗ!Д2:3):3 -_ е-Нз-Н., (ЄНз-Н2Из:2):2) 4- со2 Д W4 {— 1/8ea*-2,1'-*l»-,i'Q23Q24 -
- е-н2-н4 (е**-»чь-з)-л\ + со3 Д со4 {— 1/2e2*-2,l3-fl2-tl4Q23Q34 +
4. е-нз-Н4 (е-х'-^ц3:2)-А\, (69)
Co2 Л Co3 = {4^-»'-»'-»'V7Qu - V2^-,l2-,l3-^?3Q24l со' Л со4 4-+ [72^-2^-^ Y2Q32 + в-*-^ТзЦ2. і] ю1 Л ®2 -Ь + [—V2^_,"2~2:as V3Q23 - Є-*_Й2^2|Яз, l] со1 Л со3 4-
, [l,J*-*^>(& + ^ ^1 №2 д ^3 ь _|_ [1/^4!-2H2-H8-(I1Q24Q23 _ !^-^»-^-?34^2,1] о)2 Л «4 "І" -h [^^+-2^--^-^^23(334 + 72^-^-^241?, і] СО3 Д СО4, (70)
СО3 Д С042 = [-V2^-,l2'(l"""^Q34H4.2 - 7^^-^-^-^-342^:3] Д СО4 4-
13. Уравнения структуры
91
_|_ 1/2^-^-^^34(^2:40)1 Д (О2 + 112e^~2^-^QA2\i3A^ Л 0)3 +
+ е-^^л^Ф2 Л 0)3 — ^""^"^^4:3^2:4«2 Д 0)4 +
+ e~^-^4fl3:4R:2O)3 Д о)4. (71)
Из уравнений (55) и (61) получаем
lkR\ki^k Л - - do)^ - соз Л Юз - со] Л «и (72) Подставляя в это уравнение уравнения (66) — (68), можно получить компоненты R\ki тензора Римана, просто собирая коэффициенты при со* Д се/. Например, для вычисления R\\2 нужно собрать коэффициенты при со1 Д со2 в выражении для Q2. Имеем
Rt212 = -e-*-»*SD2 (^•T2) - ^•Y3Ii213 - 0.1 +
+ V4^"2lX2"2^3Q23 + V4^~2JX2"2JA4Q24 " ^^2:4. (73)
Опуская индекс, получаем уравнение (75а). Уравнения (75ж), (75к) и (75у) получаются приравниванием в выражении для Q2 коэффициентов при со1 Д со3, со2 Д со3 и со3 Д со4 соответственно. Точно так же уравнения (75г) и (75р) получаются подстановкой уравнений (69) — (71) в уравнение
V2#23*/Co* Л = Qi = dcoi - CO2 Д соз - ©? Д G)24. (74)
Остальные компоненты тензора Римана получаются подходящей перестановкой индексов в уравнениях (75а), (75г), (75к), (75р) и (75у) и использованием симметрии по индексам 2, 3 и 4.
