Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
б. Орбиты, ограниченные в пространстве. Орбиты в экваториальной плоскости, описываемые уравнением (94), удобно разбить на два класса, соответствующие E2 < 1 и E2 ^ 1. Орбиты первого класса характеризуются отрицательной энергией (без учета энергии покоя), а орбиты второго класса — положительной (или нулевой) энергией (исключая энергию покоя). Следует ожидать, что это различие в энергиях определяет, ограничены орбиты в пространстве или не ограничены (т. е. ограничена ли сверху величина г вдоль геодезической). В данном разделе мы будем
19. Времениподобные геодезические
111
рассматривать только ограниченные орбиты (E2 < 1). Эти орбиты описываются уравнением
/ (и) - 2Mu3 — и2 + {2MlL2) и — (1— E2)/L2 (E2 < 1). (110)
Ясно, что геометрия геодезических определяется расположением корней уравнения / (и) = 0. Поскольку f (и) — кубическая функция Uy существуют две возможности: 1) все корни
Рис. 4. Расположение корней кубического уравнения / (и) = 0 при E2 < 1. Различные случаи (а), (?) и т. д. подробно рассмотрены в тексте.
действительны, 2) один из них действительный, а два других — комплексно сопряженные друг другу. Обозначая через иъ U2 и U3 корни кубического уравнения / (и) = 0, имеем
U1U2U3 = (1 — E2)/2ML2y (111)
U1 + U2 + U3 = 1/2Af. (112)
В силу сделанного предположения (1 — E2) > 0 уравнение / (и) = = 0 должно всегда иметь положительный действительный корень. Поскольку / < 0 при U = O и / (и) ±оо при и ->?оо, мы должны рассмотреть пять случаев, показанных на рис. 4 *.
Случай (ос). Каждая пара значений E и L, допускающая существование трех действительных различных корней 0 < Ux < < ti2 < и3у определяет две различные орбиты с Ui < и < U2 и и ^ U3 соответственно. Первая из этих орбит осциллирует между двумя экстремальными значениями г (=и~1 и и~]), а вторая, начинаясь с определенного расстояния в апоцентре (=и~})у падает на сингулярности г = 0 (и -> оо). Назовем эти два вида орбит орбитами первого и второго рода соответственно. Орбиты первого рода — это релятивистский аналог орбит Кеплера, и в^ныотоновском пределе они переходят в орбиты Кеплера. Орбитам второго рода в ньютоновской теории аналога нет. Тем не менее мы увидим, что орбиты и первого, и второго рода (а также и неограниченные орбиты, как будет показано ниже в § 19, б) удобнее всего параметризовать с помощью эксцентриситета е ^ 0 и фо-
* Комбинируя соотношения (111) и (112) с соотношением
U1U2 + U2U3 + U3U1 = XlL2,
можно показать, что при E2 < 1 не может быть двух отрицательных действительных корней (помимо положительного корня). На рис. 4 поэтому представлены все разрешенные ситуации. ,
112
Глава 3. Пространство-время Шварцщильда
кального параметра I точно так же, как и ньютоновские орбиты.
Случай (?). В этом случае орбита первого рода — устойчивая круговая орбита (е = 0), а орбита второго рода падает на
сингулярность в центре (хотя и ее эксцентриситет равен нулю).
Случай (у). В этом случае орбита первого рода, начинаясь с определенного расстояния а"1 в апоцентре, асимптотически по спирали приближается к окружности радиуса и~\ совершая при этом бесконечное число оборотов. Орбита второго рода в этом случае является в некотором смысле продолжением орбиты первого рода, раскручиваясь по спирали, начиная с той же самой окружности (приближаясь при этом к центру и в конце концов падая на сингулярность).
Случай (б). В этом случае все три корня совпадают, и принципиальное отличие от случая (є), рассматриваемого ниже, в том, что уравнения допускают еще и неустойчивую круговую орбиту радиуса u~l (=и? = и~]).
Случай (в). В этом случае имеется ^только один класс орбит: все орбиты начинаются на определенном расстоянии в апоцентре и оканчиваются на сингулярности. Удобнее всего параметризовать их чисто мнимым эксцентриситетом, во всем же остальном они подобны радиальным геодезическим.
Такую же классификацию орбит (случаи (а)—(г)) получим, рассматривая уравнение (90) как закон сохранения энергии, где ?2 — «полная энергия», являю-г2 — «кинетическая энергия», а
2MIr) (1 + L2Ir2) (113)
есть «потенциальная энергия». На рис. 5 показаны кривые зависимости потенциальной энергии от радиуса для некоторых типичных значений параметров EwL,
Рис. 5. Эффективные потенциалы для времениподобных геодезических (см. уравнение (113)). Минимумы потенциалов соответствуют устойчивым круговым орбитам, а максимумы — неустойчивым круговым орбитам. Последняя устойчивая круговая орбита соответствует точке перегиба.
щаяся интегралом движения,
T = (1 —
19. Времениподобные геодезические
113
/. Орбиты первого рода. Мы видели, рассматривая случаи (а)—(б), что существование орбит первого рода требует, чтобы уравнение / (и) = 0 имело три положительных действительных корня, которые будем записывать следующим образом:
U1= (I — e)/l, U2= (I + e)/lf и3 = 1/2Af — 2/I1 (114)
где фокальный параметр / — некоторая положительная постоянная, а эксцентриситет е меньше единицы, чтобы выполнялось неравенство U1 > 0, как следует из условия E2 < 1:
