Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
gtj = ёи (X2, г5), (1)
где Xі и Xs — две оставшиеся пространственные координаты.
Кроме стационарности и аксиальной симметрии потребуем, чтобы пространство-время было инвариантным относительно одновременного обращения времени / и угла ф, т, е. относительно
//. Стационарное аксиально-симметричное пространство-время 81
преобразования / -> —/ и ф -> —ф. Физический смысл этого дополнительного требования в том, чтобы движение источника гравитационного поля, каков бы он ни был, было чисто вращательным движением вокруг оси симметрии, а в этом случае тензор энергии-импульса обладает требуемой дополнительной симметрией. Другими словами, рассматриваемое пространство-время связано с «вращающимся телом». Во всяком случае, инвариантность относительно одновременной инверсии времени и угла требует, чтобы
go2 = ?оЗ = gl2 = gl3 = 0, (2)
поскольку соответствующие члены в метрике меняют знак при преобразовании t -> —/ и ф -> —ф. Таким образом, при сделанных предположениях метрика должна иметь следующий вид:
ds2 = g00 (dx0)2 + 2g01dx4x1 + gn (dx1)2 +
+ [?22 (d*2)2 + 2g23dx4x* +?33 (dx3)2], (3)
где все метрические коэффициенты являются функциями только
X2 и X3.
Дальнейшая редукция связана с использованием следующей теоремы.
Теорема.; Метрика
ds2 = gn (dx1)2 + 2gl2dx4x2 + g22 (dx2)2 (4)
двумерного пространства (х1, х2) с положительно- или отрицательно-определенной сигнатурой (+, + или--) всегда может
быть приведена координатным преобразованием к диагональному виду
ds2 = ±е^ [(dxi)2 _|_ (dx2)2], (5)
где ё1^ — некоторая функция координат х1 их2.
Доказательство. Очевидно, для доказательства теоремы достаточно показать, что существуют преобразования
xі' = ф(х\ x2), x2' = Ij)(x1, x2), (6)
которые приводят метрику, записанную в контравариантной форме
ds2 = g11 (dx,)2 + 2^12dx1dx2 + g22 (dx2)2, (7)
к диагональному виду с равными коэффициентами при (dxx)2 и (dx2)2.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы ^1'2' -=-- ?nf Щ>, і + g12 (ф. I*. 2 + ф, 2*. i) + g24,2*. 2 = 0, (8)
gyV - g1'2' - gU (Ф2 1 - і) -Ь lg'* (Ф, іф. 2 - Ч>. Щ>. 2) +
+ *22 (*? 2-2)-=0. (9)
82
Глава 2. Пространство-время достаточно общей структуры
Несложно проверить, что уравнение (8) тождественно удовлетворяется подстановками
Ф,і = к (?2yj + л2),
Ф,2 = + л2), (Ю)
где х — произвольная функция. Но те же подстановки в уравнение (9) приводят к условию
[«•І^-СТ-іІИ. + гЛ*. + ^.]^. (її)
Если метрика положительно или отрицательно определенная, то уравнение (11) может быть удовлетворено лишь при условии
Х2 = [gllg22 _ (gU}2 ]-1 = gng22 _ = ^ (12)
где g — детерминант ковариантного метрического тензора. Следовательно, уравнения (8) и (9) удовлетворяются подстановками
Ф, і - +?1/2(?2Ч, і + g24,2) = +gl/2g2k$,k,
Ф.2 = -г1/2(«Г1Ч. 1 +g12*.2) = -gl/2glkq,b- ( }
Условие интегрируемости этих уравнений
&1/2*'Ч.*Ь = 0 (14)
показывает, что if> может быть произвольным решением уравнения Лапласа в рассматриваемом двумерном пространстве. Существование преобразований, приводящих метрику к диагональному виду с равными коэффициентами при (CIx1)2 и ((1?)2 (и, следовательно, также при (dx1)2 и (dx2)2, если метрика записана в кова-риантной форме), установлено.
Нелишне отметить, что ковариантная запись уравнений (13)
t.i=gl/2eugikip.k (15)
(где E1J — двухиндексный антисимметричный тензор) показывает взаимную «дуальность» градиентов функций ф и \р.
Из доказанной теоремы следует, что часть метрики, заключенная в уравнении (3) в квадратные скобки, может быть приведена к виду
±e2^[(dx2)2 + (dx3)2], (16)
где |я — некоторая функция переменных X2 И X3.
Будем записывать метрику стационарного аксиально-симметричного пространства-времени в следующем виде:
ds2 = e2v (dt)2 - (d<p - ?0 dtf - є2*** (dx2)2 - e2^ (dx3)2, (17)
где v, \p, со, |я2 и |я3 — функции переменных X2 и Xs. Следует отметить, что мы не полностью использовали возможности, предоставляемые доказанной выше теоремой в рамках требований стационарности, аксиальной симметрии и инвариантности относительно одновременной инверсии t и ф, оставив функции |Я2 и Ii3 различными. Это было сделано для того, чтобы в дальнейшем,
//. Стационарное аксиально-симметричное пространство-время
83
используя оставшуюся свободу выбора калибровки, зафиксировать вид функций Ji2 и р,3 наиболее удобным в каждом конкретном случае образом.
а. Увлечение инерциальных систем отсчета. С метрикой (17) можно связать следующую тетраду базисных векторов:
е{0) і -- {е\ 0, 0, 0), е{Х) і - (сое*, — е+*9 0, 0),
е{2) і - (0, 0, —е*; 0), е(3) і - (0, 0, 0, —е»>).
Им соответствуют контравариантные базисные векторы
е[0) =-- (е~\ т-\ 0, 0), е[х, = (0, е-*, 0, 0),
е{2) =,- (0, 0, е-*; 0), е{9) = (0, 0, 0, е-**).
Легко видеть, что
(18)
(19)
Є(а)Є(Ь) і — Т|(а) (ft)
о -1 о о
о о -1 о
(20)
Таким образом, в выбранной системе отсчета метрика совпадает с метрикой Минковского; следовательно, это локально инерциаль-ная система отсчета.
