Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
а условие двукратного вырождения главного изотропного направления тензора Вейля типа II записывается в виде
Cpqr[slt]lQlr = 0 тогда и только тогда, когда Yo^Yi = O. (385)
Когда Y0 и Y1 равны нулю,
CpQrsMr = (W2 -Ь Y2*) tpls. (386)
Если тензор Вейля принадлежит к типу D и п — второе дважды вырожденное главное изотропное направление, то помимо условия (385) мы должны иметь
Cpgrisnt]nW=.0, (387)
а при W4 = W3 = 0
Cpgrsnw = (Y2 + Y2*) npns. (388)
Если тензор Вейля принадлежит к типу III и Чг0 = Y1 = Y2 = = 0, то из уравнения (298) следует
CpqJs = \Ъ (hmq - lqmp) + Wl (lpmq - lqmp)\ I, (389)
и мы заключаем, что
Cpqr[slt}lr = 0 тогда и только тогда, когда Y0 = Yi — Y2 0.
(390)
Наконец, если тензор Вейля принадлежит к типу N и Y0 = Y1 =
= Y2 - Y3 = 0, то
Cpqrs = —^4 \lpmqlrms\ - Y| \lpmqlrms}y (391)
CPjrsls = 0 тогда и только тогда, когда
Y0 - Y1 - Y, - Y3 - 0. (392)
9. оптические скаляры и классификация Петрова
77
в. Теорема Гольдберга — Сакса. Мы ограничимся рассмотрением решений уравнений Эйнштейна в пустоте, когда тензор Риччи равен нулю, а тензор Римана совпадает с тензором Вейля. В этом случае справедлива следующая теорема:
Если тензор Римана принадлежит к типу II и если изотропный базис выбран так, чтобы 1 было двойным главным изотропным направлением и W0 = W1 = 0, то к = о = 0; и обратно, если к = а = 0, то Wq = W1 = 0 и тензор Римана принадлежит к типу II.
Важность этой теоремы в том, что она связывает гравитационное поле типа II с существованием бессдвиговой (несплюснутой) конгруэнции изотропных геодезических.
Легко доказать, что при W0 = W1 = 0 конгруэнция, образованная вектором 1, является геодезической (х = 0) и бессдвиговой (о = 0). Выпишем тождества Бианки (уравнения (321а)—
(321в) и (321д)—(321ж)) в случае W0 = W1 = 0:
3xF2 = 0, (393а)
DY2 = —2хТ3 + Зр?2, (3936)
D F3 — б* F2 - —x F4 — 2 (8 — р) W3 + Зя F2, (393в)
3oW2 = 0, (393д)
—б F2 - —Зт?2 + 2а F3, (393е)
Л W2 — б F3 - — 3[iW2 — 2 (т — ?) W3 + a F4. (393ж)
Если пространство не является конформно плоским (т. е. не все скаляры W0, W1, W2, W3 и 1F4 равны нулю), то из уравнений (393а)—(393в) следует х = 0, а из уравнений (393д)—(393ж) следует 0 = 0.
Доказательство обратного утверждения, что из условия х = = о = 0 следует W0 = W1 = 0, не столь прямолинейно. Предположим, что вращением из класса III (это не нарушает равенства нулю x и а) мы добились равенства нулю спинового коэффициента є. Тогда из тождеств Риччи (310а)—(ЗЮв), (ЗЮд) и
(310л) при к = о = 0 следует:
Dp - р2, (394а)
W0 = 0, . (3946)
Dx = (т* + я) р + W1, (394в)
D? = p*? + 4V (394д)
бр = (а* + ?) р + (р - р*) т - ^1, (394л)
а тождества Бианки (321а) и (321д), если в них в соответствии с уравнением (3946) положить ^F0 = 0, "имеют вид
D F1 - 4р F1, (395а)
б F1 = 2 (2т + ?) W1. (395д)
78
Глава 1. Математический аппарат
Наконец, из коммутационного соотношения (304) следует
D8 — 8D - (я* — а* — ?) D + р*8. (396)
Из уравнений (343) ясно, что вращением из класса I (что не влияет ни на W01 ни на равенство нулю х, а или г) можно добиться т — 0 при условии, что р Ф 0. (Если же р = 0, то из уравнения (394л) следует, что 1F1 = 0, — результат, который мы и хотим доказать.) Предполагая затем, что т равно нулю (и р Ф 0), имеем из уравнения (395)
D In W1 -= 4р, б In W1 - 2?, (397)
откуда следует, что
(D8 — 8D) In W1 = 2D? — 46р. (398)
Используя теперь соотношения (394д) и (394л) и вспоминая, что т равно нулю, получаем
(D8 — 6D) In W1 = 2p*? — 4 (а* + ?) р + 6F1. (399)
С другой стороны, действуя коммутационным соотношением (396) на In Чті, получаем с учетом уравнений (395а) и (395д)
(D8 — 6D) In W1 = (я* — а* — ?) D In W1 + р*8 In W1 =
= 4 (я* — а* — ?) р + 2?p*. (400)
Приравнивая теперь правые части уравнений (399) и (400), имеем
W1 = 2/3я*р, (401)
а уравнение (394в) при т = 0 дает
W1 = — я*р. (402)
Поскольку мы предположили, что р Ф 0, из уравнений (401) и (402) следует, что 1F1 = 0, что и требовалось доказать.
Следствием теоремы Гольдберга — Сакса является соответствующая теорема для алгебраически вырожденного поля типа D по классификации Петрова: конгруэнции, образованные двумя главными изотропными направлениями 1 и п, должны быть и геодезическими, и бессдвиговыми, т. е. к -= О v = X- = 0, если W0 = W1 = 1F3 = = 0, и обратно.
Примечательным является тот факт, что все решения уравнений общей теории относительности, описывающие черные дыры, принадлежат к типу D по классификации Петрова, и поэтому их можно исследовать с использованием изотропных тетрад, для которых спиновые коэффициенты х, а, v и X1 а также все вейлевские скаляры, кроме W2, равны нулю. Именно благодаря этому обстоятельству формализм Ньюмена — Пенроуза особенно эффективен при исследовании метрик черных дыр.
Библиографические замечания
§ 1—6. Есть много хороших книг по дифференциальной геометрии, но большинство из них более специальны или более объемны, чем необходимо для наших целей. Назначение первых шести параграфов — подготовить читателя к восприя-
