Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
W(ol) = W0 -f ^bW1 + Qb2W2 + Ab3W3 + bAWA^
W[l) - W1 + ЗЬ?2 + 3b2W3 + W4, (371)
W{21) - ?2 + 2W3 + b2V4, - V3 + ft?4, W{41) - V4,
где верхний индекс (1) означает новые значения скаляров в отличие от старых. Очевидно, что вращением из класса II можно сделать Ч;о1} равным нулю, если b — корень уравнения:
?4Ь4 + 4 F3O3 + bW2b2 + 4V1O + V0 = 0. (372)
Это уравнение всегда имеет четыре корня, и соответствующие новые направления вектора 1, а именно направления 1 + fe*m -f-+ bm-f-ftb*n, называются главными изотропными направлениями тензора Вейля. Если два или несколько корней совпадают, то тензор называется алгебраически специальным, в противном случае он называется алгебраически общим. Различные варианты совпадений корней и лежат в основе классификации Петрова.
1. Тип I Петрова. В этом случае все четыре корня уравнения (372) различны. Обозначим их Ьъ Ь29 Ь3 и Ь4. Тогда вращением из класса II с параметром, скажем, b = Ьх можно сделать W0 = 0. Затем вращением из класса I (которое не влияет на W0) можно сделать W4 также равным нулю *. Скаляры Wv W2 и W3 остаются отличными от нуля, причем W19 W3 и W2 инвариантны относительно вращений из класса III (которые не влияют, однако, на равенство нулю скаляров W0. и W4).
2. Тип II Петрова. Пусть уравнение (372) имеет два совпадающих корня = Ь2 (ФЬ3 Ф ft4, Ь3 Ф ft4). В этом случае не только уравнение (372), но и его производная по b
W4b* + 3?3b2 + 3W2b + W1 = 0 (373)
имеет корень b = b2. Следовательно, вращением из класса II с параметром b = Ьг (= Ь2) можно сделать W0 = 1Y1 = 0. Затем вращением из класса I (которое не изменяет первоначального одновременного равенства "нулю W0 и W1) можно сделать W4 равным нулю (см. уравнение (342)). Ненулевыми остаются только W2 и W39 причем Чг2 инвариантно относительно вращений из класса III.
3. Тип D Петрова. Пусть уравнение имеет два различных двойных корня O1 и Ь2. Мы покажем ниже, что вращением из класса II, а затем вращением из класса I можно сделать одновре-
* Заметим, что корни уравнения
V0 (a*)4 + 4V1 (а*)3 + 6Ч'2 (а*)2 + 4V3 a* + V4 = 0 (372')
(см. уравнения (342)) обратны корням уравнения (372).
9. Оптические скаляры и классификация Петрова
75
менно равными нулю скаляры 1F0, Y1, Y3 и 1F4. Отличным от нуля остается лишь скаляр 1V2.
По предположению Y0 после вращения из класса II с параметром 6 принимает значение
ЧР-Ч^Ь-Ь^ф-Ь)2. (374)
Значения остальных скаляров можно получить последовательным дифференцированием выражения для Ч'о1} и умножением на соответствующий коэффициент на каждом шаге для того, чтобы коэффициент при наивысшей степени 6 был равен W4. Имеем
Yi1' --- 1Z2W, ф - 6,) (6 - 62) (26 -b{- 62),
Т^п - VsT4 [(Ь - 6,) (6 - 62) + V2 (26 - b{ - 62)2], (375)
T^ =-- V2^4 (26 - U1 - 62), Y^ - Y4.
Выбрав 6 = 6Ь получаем
Ч#> Y|° - О, Y2^ == V6T4 (б! - 62)2,
Y^ V2T4 (O1 - 62), W[l) = Y4. (376)
Подвергнем теперь тетраду вращению из класса I с параметром а*. Новые значения вейлевских скаляров (см. уравнение (342)) равны
W(o2) - YS2) - О, Y2^ = Y2^ = V6T4 (6, - 62)2, (377) Wi2) = Y^ + За* Y2^ = V2T4 (Ьх - 62) + V8T4A* фх ~ 62)2 =¦
= V2T4 (6, - 62) [ 1 + а* (6г - 62)], (378)
Tl2) = Y4 + 4а* •V2Y4 (б! - 62) + 6 (а*)2-V6Y4 (O1 - 62)2 -
= Y4[Il^(O1-O2)]2. (379)
Если выбрать
а* = (62 - O1)"1, (380)
то можно сделать равными нулю также Y32) и Y42). Таким образом, вращением из класса II с параметром 6Х и последующим вращением из класса I с параметром а* = (62 — O1)-1 мы добиваемся равенства нулю скаляров Y0, Y1, Y3 и Y4. Единственный ненулевой скаляр Y2 инвариантен относительно вращений из класса III.
4. Тип III Петрова. Если три корня уравнения (372) совпадают: bx = 62 = 63 Ф 64, то вращением из класса II с параметром 6 = 6Х (= 62 = 63) можно сделать Y0, Y1 и Y2 одновременно равными нулю, а последующим вращением из класса I добиться равенства нулю скаляра Y4 (это вращение оставляет равными нулю скаляры Y0, Y1 и Y2). Скаляр Y3 не равен нулю, но его значение может меняться при вращении из класса III.
5. Тип N Петрова. Все четыре корня совпадают, и вращением из класса II с параметром 6, равным единственному корню
76
Глава 1. Математический аппарат
уравнения (372), можно сделать равными нулю одновременно Y0, Y1, Y2 и Y3. Только скаляр Y4 остается не равным нулю.
Выведем некоторые простые условия, которым должен удовлетворять вектор 1, чтобы быть главным изотропным направлением тензора Вейля разных типов Петрова.
Используя общее выражение (298) для тензора Вейля Cpqrs, получим
CpgrsFf = (Ъ. + ^2) lpls + 4ompms + W*0mpms -
- W1 (lpfhs + UiUp) - {Iptris + lsmp). (381)
Поэтому
Cpqr {shlqlr = (%mp - WUp) mislt] + (%m, - WJP) m[s//]f (382)
kuCp] qr [slt\lqlr = WQl[ump]m[sln + Yo/[wmp]m[s/n. (383)
Следовательно, условие того, что 1 является невырожденным главным изотропным направлением тензора Вейля типа I, имеет следующий вид:
huCp]qr[slt]lqlr — 0 тогда и только тогда, когда Y0 = O, (384)
