Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Чандрасекар С. -> "Математическая теория черных дыр: в 2-х томах" -> 25

Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.

Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: в 2-х томах — M.: Мир, 1986. — 276 c.
Скачать (прямая ссылка): mathem-theory.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 97 >> Следующая


а) вращения класса I, оставляющие неизменным вектор 1;

б) вращения класса II, оставляющие неизменным вектор п;

в) вращения класса III, оставляющие неизменными направления I и п, поворачивающие вектор m (и т) на угол 0 в плоскости (т, т).

Выпишем в явном виде преобразования, соответствующие каждому из этих трех классов и сохраняющие условия ортогональности и нормировки:

I. 1-И, m~^m f al, m->m} a*l, n->n -f a*m 4- am + aa*l;

II. n->n, m~vm f bn, m-> m + 6*n, 1 ->1 -j- 6*m + bm + bb*n;

III. n->Лп, m->eiQmt m-+e~iQm,

где а и b — две комплексные функции, а Л и 0 — две действительные функции на многообразии.

Нетрудно найти действие вращения из класса I на различные величины в формализме Ньюмена — Пенроуза. Вейлевский скаляр W01 например, остается инвариантным при таком вращении:

—^0 = сшз СPO78IP (m« + al<) V (ms -f als) -

- CpqrslPm4rms - —V0, (340)

тогда как скаляр W1 преобразуется следующим образом: —W1 = C1213 Cp0Jp (п« + а* т<> + атя + аа*1*) lr (ms + als) = = CpqJP (n< + a*m?) /'m» = C1213 + a*C1313 - - (V1 + a*V0). (341)

При упрощении этого выражения, помимо очевидных свойств симметрии тензора Вейля использовано равенство C1413 = 0

8. Формализм Ньюмена—Пенроуза

69

(см. уравнение (291)). Подобным же образом найдем действие преобразования из класса I на другие вейлевские скаляры:

W0 ~> 4V - а*?0,

Y2 -> Y2 + 2a*Y, + (a*)2Y0,

if3 _> ^3 + За* Y2 + 3 (a*)2 Y1 + (a*)3 F0, (342)

if4 if4 + 4а*Y3 + 6 (а*)2 F2 + 4 (а*)3 F1 + (а*)4 F4.

Приведем таблицу действия преобразований из класса I на спиновые коэффициенты:

х х; а->а+ах; р р + а*х; є є -f а*х; т -> т -f- ар -f а*а + аа*х; я я + 2а*8 + (а*)2х -f- Da*; а a -f а* (р + е) + (а*)2х; ? -> ? -f- ає -f- а*а + аа*х; 7 -> у + аа + а* (? + т) + аа* (р + в) + -f (а*)2а + а (а*)2х; Я K + а* (2а + я) + (а*)2 (р + 2е) +

-f- (а*)3х -j- s*a* + a*Da*; li li + ая + 2a*? + 2аа*є + (а*)2а + + а (а*)2х + ба* + aDa*; v v + аХ + a* (li + 2y) + (а*)2 (т + 2?) + + (а*)3а + аа* (я + 2а) + + а (а*)2 (р + 2е) + а (а*)3х + + (Л + а*б + аб* + aa*D) а*. (343)

Скаляры, описывающие максвелловское поле, преобразуются следующим образом:

Фо Ф0, Фі -+ Фі -f a*</>0, ф2 ф2 + 2a*^ + (a*)* </>0. (344)

Действие вращения из класса II легко находится из предыдущих формул. Так, подстановка 1 вместо п приводит к следующим заменам:

Y0^Y4*, Y1^Y3*, Y2^Y2*, фо^-фї, фі^-фи (345) x^-v*, р^— li*, a^> —А,*, a*=* —?*, 6 4±-f, я^— т*.

В частности, вращение из класса II действует на вейлевские скаляры следующим образом:

% - % + IbW1 + 6O2F2 + 4O3F3 + O4F4,

— W1 + 36Y2 + 3O2F3 + ^3F4, (346)

70

Г лава 1. Математический аппарат

-^2-^2+ 2W3 + ^4,

W3 -> ?3 + bW49 ?4 — Y4.

Наконец, выпишем действие вращения из класса III на различные величины:

W0-+A-2e^WQ9 V1-^A-W1V19

W2-^W29 W3-+ Ar-HV39 ?4->,4%-2<W4;

ф0-+А-*е*ф09 фг-^фи ф2-+Ае-^ф2\ х->Л-?^'ех, o-+A-]e2iQot P-^A-1P, t-Wot, n-+e~iQn, К-+Аег*Щ, \л-+А\л9 v->42e-''0v, (347)

у-+Ay-1J2AA+ 1I2IAaQ,

8 А-Ч - 1I2A-2DA + 1I2IA-1Dd9

?-We? _|_ i/2fe/eee - 1J2A-WbA.

Ha этом мы закончим изложение формализма Ньюмена — Пенроуза.

9. Оптические скаляры, классификация Петрова и теорема Гольдберга—Сакса

Физический смысл спиновых коэффициентов, введенных в § 8 в рамках формализма Ньюмена — Пенроуза, становится ясным, если рассмотреть перенос базисных векторов вдоль векторов 1 или п. Приращение линейной части базисного вектора е(а), при бесконечно малом смещении | по определению равно

8е(в) , = е{а),; IIі = e\b)y(b) (а) (с)еГ1} = -Y(a) (b) <Л(0, (348)

поэтому изменение бе(а) (с) вектора е(а) при перемещении в направлении с равно

ве(в)(с) = -7(в,(6)(с)е<&). (349)

В частности, для приращения вектора 1 при единичном перемещении вдоль вектора 1 имеем (см. уравнение (284))

61 (1) - -Y1 (b) ie<*> = -Yi2ie(2) - Yi3ie^3> - Yi4ie<4) =

= —Y121I + Yisitn + Yi4im, (350)

или, записывая через спиновые коэффициенты,

61 (1) = (е + е*) 1 - хїп - х*т. (351)

Подобным же образом находим

On (1) = —Y2 (b) \z(b) - — (е + є*) n + ят + я*т, (352) ?m (1) = —Y3 (*) \t{b) = + (s - є*) m + я*1 - хп. (353)

Р. Оптические скаляры и классификация Петрова

71

Из уравнений (351)—(353) вытекает несколько важных следствий. Переписывая уравнения (351) в виде (см. уравнение (348))

lt. jli =z. (є + 8*) Ic — writ — x*mt (354)

и из уравнений (211) и (212) заключаем, что векторы 1 образуют конгруэнцию изотропных геодезических тогда и только тогда, когда х = 0 и вдобавок параметр вдоль этих геодезических является аффинным тогда и только тогда, когда Re є = 0. Если х = 0, условие аффинной параметризации (? = 0) может быть достигнуто вращением из класса III, описанным в § 8, е (см. уравнения (347)), которое не меняет ни направления вектора 1, ни значения х, первоначально равного нулю.

Если векторы 1 с самого начала определены так, что они составляют конгруэнцию изотропных геодезических с аффинной параметризацией, так что х = є = 0, то вращением из класса I (которое не действует на 1 и не меняет нулевых значений х и є) можно добиться, чтобы я = 0. Получившиеся после такого преобразования векторы n, m и m не будут (как следует из уравнений (352) и (353)) изменяться при смещении вдоль вектора 1. Другими словами, все базисные векторы 1, n, m и m будут оставаться неизменными при параллельном переносе вдоль вектора 1.
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed