Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
а. Оптические скаляры. Некоторые другие свойства конгруэнции изотропных геодезических можно получить, если выписать явно сумму в правой части уравнения
trj = e\a)yia)l{b)e)b) (355)
в виде
/ = (е + 8*) Un1 + (7 + Y*) Uh ~ (<** + ?) Umі - (ос + ?*) Um1 -
— KfUiHj — к*тьП] + orhtrhj -j- о*тщ — XtTi1Ij — %*m%h -f
+ pm%mi + р*пціП]. (356)
Заметим, что свертка с // дает уравнение (354). Поскольку векторы 1 образуют конгруэнцию изотропных геодезических с аффинным параметром, х = є = 0 и уравнение (356) принимает вид
U, і = (Y + Y*) Uh — (а* + ?) Um j — (ос + ?*) ІіЩ - тт,-// -f ofhifhj +
+ a*m^m7. -f- pra^m, + ^m1Mj — T*mtlj. (357) Из последнего уравнения находим
/[/; /] = - (ос* + ? - 1{ітп - (a -f ? - т*) 1итп + (р - р*) титІЬ
(358)
h\ Л] = (P - P*) (359)
Из стандартных теорем (см. ссылки на литературу в конце главы) следует, что конгруэнция изотропных геодезических ортогональна семейству гиперповерхностей (т. е. вектор 1 пропорционален гра-
72
Глава 1. Математический аппарат
диенту скалярного поля) тогда и только тогда, когда спиновый коэффициент р является действительным; и вектор 1 равен градиенту скалярного поля тогда и только тогда, когда вдобавок а* _|_ ? = т.
Из уравнений (357)—(359) получаем
V./!* = -Va(p+P*)-ef (360)
1M;; л/" ' = -V4(P - P*)2 = о>2, (361)
V./a;/)/'s/ = e^ + |a|2. (362)
Величины 0, о) и а, определенные предыдущими уравнениями, были впервые введены Р. Саксом и называются оптическими скалярами. Скаляры 0 и со можно записать в виде
0 = — Re р, со = Im р. (363)
Для выяснения геометрического смысла оптических скаляров напомним сначала, что 1 — касательный вектор к некоторому изотропному лучу N, a m — комплексный вектор, ортогональный вектору 1. В точке P луча N действительная часть векторов m и 1 определяет двумерную плоскость. Рассмотрим теперь небольшую окружность с центром в точке P на луче N, лежащую в двумерной плоскости, ортогональной вектору 1. Если двигаться
Уг arg <? JL
Re р Imp
Рис. 1. Геометрическая интерпретация оптических скаляров: оптические скаляры описывают изменение небольшой окружности при движении ее перпендикулярно пучку световых лучей.
в будущее вдоль тех лучей из конгруэнции 1, которые пересекают эту окружность, то окружность может сжаться или расшириться, может поворачиваться или сплющиваться в эллипс. Расширение (или сжатие), поворот и сплющивание измеряются соответственно действительной частью р, взятой с обратным знаком (—Re р), мнимой частью р (Im р) и оптическим скаляром а, причем величина сплющивания определяется модулем |а|, a V2 arg а — угол между малой осью эллипса и заданной плоскостью (рис. 1).
Тот факт, что Im р есть мера вращения конгруэнции, согласуется с тем, что равенство нулю мнимой части р гарантирует существование семейства гиперповерхностей, ортогональных конгруэнции.
9. Оптические скаляры и классификация Петрова
73
Спиновые коэффициенты р и G играют важную роль и в описании поведения пучков световых лучей в гравитационном поле. Рассмотрим изменение вектора 1 в ортогональном направлении m при распространении вдоль лучей. В соответствии с уравнением (349) имеем
61 (3) = -Yl {b) Зе<6> = (а* + ?) 1 - p*m - am. (364)
Уравнения, описывающие изменения р и а вдоль геодезической, получим из уравнений (310а) и (3106), положив в них к = - є - 0:
Dp = (P2 +M2) +Фоо, (365)
Da = a (р + р*) + V0. (366)
Напомним, что
Ф00 = -V2^u - -1IbRnI1V, V0 = -Cplrslmqlrm\ (367)
Предыдущие уравнения можно записать и в других формах. Уравнение (366), например, можно переписать в виде
Da - —20a + Y0. (368)
Аналогичное уравнение для со получим, если возьмем мнимую часть уравнения (365) и учтем, что Ф00 — действительно
Deo = V2 (р + р*) (р — р*) - —20^). (369)
Действительная часть уравнения (365) имеет вид
D0 - со2 — 02 — I a I2 — Ф00. (370)
Именно в такой форме эти уравнения обычно и используются.
б. Классификация Петрова. Мы видели, что относительно выбранной изотропной тетрады тензор Вейля полностью определяется пятью комплексными скалярами 1F0, V1, V4. Но значения, которые принимают эти скаляры, зависят от выбора тетрады. Кроме того, тетрада может быть подвергнута любому преобразованию из шестипараметрической группы Лоренца. Возникает вопрос, какие из этих скаляров и сколько из них можно сделать равными нулю, выбрав подходящую ориентацию тетрады. Ответ на этот вопрос приводит к алгебраической классификации возможных типов тензора Вейля. Классификация эта носит название классификация Петрова, а соответствующие типы тензора Вейля называются типами Петрова.
Пусть V4 Ф 0. (Если окажется, что в выбранной тетраде V4 = 0, то вращением из класса I можно сделать V4 Ф 0, если только пространство не является конформно плоским, когда все вейлевские скаляры равны нулю.) Рассмотрим теперь вращение из класса II с параметром Ъ. В результате этого вращения вей-
74
Глава 1. Математический аппарат
левские скаляры W0, W1 и т. д. преобразуются к виду (см. уравнение (346))
