Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Rae = 4bdRabcd> R = nabRab - 2 (R12 - Ru). (288)
Условие равенства нулю следа тензора Вейля сводится к уравнению
abed — C1Ic2 -f- C2bcl — СзЬсі ~~ ^мЬсЗ = 0- (289)
Кроме того, нужно потребовать, чтобы
C1234 "f" ^1342 + C1423 — 0- (290)
Если условие (289) выписать явно для случая b = с, то получим
Ci3I4 = C232I — C1322 = C1442 = 0, (291)
тогда как это же условие при Ь Ф с вместе с условием цикличности (290) дает
Сші = C1334; C1241 = C1443; C1232 = C2343; C1242 = C2134; C1212 = C3434;
C1342 = V2 (C1212 C1234) — V2 (C3434 — C1234). (292)
Используя эти результаты, получим следующие соотношения между различными компонентами тензора Римана и компонентами тензоров Вейля и Риччи:
А*1212 — C1212 ~|- R12 VeA*» А\з24 = С1з24 -f~ 1ZuRt а\234 = C1234; А* 3434 — C3434 R31 — 1IqR', А*1з1з = C1O1/, А*232з = C2323',
а\зі4 — 1URlU А*2з24 ™ 1UR^t А*3132 = -V2A*33> ^121з = Ci213 -f-
A1I334 = C1334 f- 1/2А>13» ^1223 = C1223 — V2^23: А*2334 ~ C23^4 -f" V2A>23*»
(293)
58
Глава 1. Математический аппарат
а также комплексно сопряженные соотношения, получаемые заменой индекса 3 индексом 4 и обратно.
В формализме Ньюмена—Пенроуза десять независимых компонент тензора Вейля описываются пятью комплексными скалярами:
1^o= C1313
W1 = —C12i3 W2 = C1s42 W3 — C1242 ^4 — C2424
Из общих соображений очевидно, что компоненты тензора Вейля полностью определяются пятью комплексными скалярами W0, Ч\. Удобно, однако, иметь и общую формулу, явным образом выражающую компоненты тензора Вейля через эти пять скаляров. Эта формула может быть получена следующим образом.
Введем символ, обозначающий построение из произведений четырех величин такой их линейной комбинации, которая обладает всеми основными свойствами симметрии тензоров Римана и Вейля:
{wpxgyrzs\ =-- wpxgyrzs - wpxqzrys - xpwqyrz8 + xpwqzrys 4- ypzqwrxs -
- ypZqXrws - zpyqwrxs + zpyqxrws. (295)
Такая линейная комбинация явным образом антисимметрична по индексам (/?, q) и (г, s) и не меняется при одновременной перестановке пар индексов (/?, q) и (г, s). Ясно, что компоненты тензора Вейля должны иметь следующее представление:
Cpqrs = q1212 \lPnqlrns\ + Q3434 \mpfh4mrfhs\ -f Q1234 \lpnqmrfhs\ -f-
+ q1314 \lpfnqlrrns} + Q2324 \npmqnrms\ + [Q1313\lpmqlrms\ +
+ q2323 {npmqnrms\ + Q1213 \lpnqlrms\ + Q1223 \lpnqnrms\ -f
+ q1323 \lpfnqnrms\ + Q1324 \lpmqnrfhs\ + Q1334 \lpmqmrfhs\ +
-f- q2334 \npmqmrfhs\ -f- комплексно сопряженньїеі, (296)
где Q... — некоторые коэффициенты, а комплексное сопряжение восьми величин в квадратных скобках получается заменой всюду m
на m и индекса 3 индексом 4 и обратно.
Выражения для коэффициентов Q... через скаляры ^ в представлении (296) можно получить сверткой обеих частей уравнения с подходящими произведениями компонент векторов 1, п, m и т. Например, при свертке с произведением lpmqlrtns в левой части уравнения (296) получаем по определению —1P0, а в правой части «выживает» лишь член с коэффициентом Q2424 — следовательно, Q2424 = —W0. Подобным же образом получаем, что при
= —CpgrslPtnnrmsy = —CpirslWPm',
= —CpgrslPm<imrns, (294)
—CpqrslPnofhrns,
8. Формализм Ньюмена—Пенроуза
59
свертке с произведением lpmqlrms в правой части «выживает» только член с коэффициентом Q2423> который должен быть равен нулю, потому что в левой части мы имеем компоненту C1314, равную нулю (см. уравнение (291)). Проводя всевозможные свертки и используя определения и соотношения (291), (292) и (294), получаем следующий результат:
Qi324 = 4V, q1212 --= Q3I34 =-- - (Ъ + ^2*); q1234 - (W2 ~ 4?);
Ql3l3 = -^4» ?221 — -Ч'о' Ql213 = -Ql334 Ql22i ~ Q2143 —
= Чгх; Q1311 -- ?2324 — Qi323 — q1424 = 0- (297)
В результате
Cpgrs = -(^2 + ^2*) [\lpnqlrns\ + \mptnqmrms\] +
+ (W2 — W2) {lpnqmrfhs\ -f (—W0 \npmqnrtns\ — ?4 \lPmqlrms\ + + 4*2 \lPmqnrfhs\ - W1 [\lvnqnrms\ + \npmqmrms\] + + ^зН'/ЛЛтЛ ~~ {V7V7V^*!] + комплексно сопряженные). (298) В частности,
Ci334 = 1Fi; C2443 = W,
Ci212 = C34^4 = - (W2 + ?2*); C1234 = (W2 - Щ). ^
Учитывая комплексно сопряженные члены, а также равенство нулю четырех компонент (291), придем к выводу, что уравнения (294) и (299) определяют все различные компоненты тензора Вейля.
Обратимся теперь к тензору Риччи. Десять независимых компонент тензора Риччи в формализме Ньюмена—Пенроуза определяются заданием следующих четырех действительных и трех комплексных скаляров:
ФоО — -1у/2^1Ъ ^22 — -1у/2^22І Фо2 = -V2^33J ^20 = -V2i?44;
Фи = -V4 (R12 + R3,); Фоі = -1URiSl Фю = -1URuI (300) Ф12 = —V2^28; Ф2і = —V2^24; Л = V24/? = V12 (R12 - R3J.
в. Коммутационные соотношения и структурные константы. В этом разделе мы продолжаем выписывать в явном виде различные уравнения теории.
Рассмотрим сначала коммутационные соотношения (см. уравнения (270) и (272)):
[Є(а), Є(6)] = (УсЬа ~~ У cab) ^ = С°аЬЄ{с). (301)
Разберем подробно конкретный случай: [Л, D] = [U9 1] = [е2, e1] = (Yci2-Yc21)ec =
