Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Кроме того, более важным является то обстоятельство, что процесс поднятия и опускания тетрадных индексов с помощью матриц Vа){Ь) и 1I(Q) (Ь) не коммутировал бы с операциями дифференцирования по направлению и внутреннего дифференцирования. Тщательный анализ результатов предыдущего раздела показывает, что, хотя правильное выражение для структурных констант, заменяющее уравнение (272), имеет теперь вид
тождества Риччи и Бианки, выражаемые уравнениями (275) и (276), остаются справедливыми.
8. Формализм Ньюмена—Пенроуза
Формализм Ньюмена—Пенроуза — это тетрадный формализм в специально выбранном базисе. Именно, тетрада Ньюмена— Пенроуза состоит из четверки изотропных векторов I, n, m и ш, причем I и п — действительные векторы, a m и m — взаимно комплексно сопряженные векторы. Этот формализм был предложен Ньюменом и Пенроузом в 1962 г., и его новизна как раз и состояла в выборе изотропного базиса *, а не привычного в то время орто-нормированного базиса. Пенроуз исходил из того, что существенным элементом структуры пространства-времени является структура его световых конусов, позволяющая ввести спинорный базис. Оказывается, структура световых конусов, соответствующая решениям уравнений Эйнштейна, описывающих черные дыры, такова, что формализм Ньюмена—Пенроуза наиболее эффективно выявляет присущие этим решениям свойства симметрии. Такая приспособленность формализма Ньюмена—Пенроуза к нахождению и исследованию решений, описывающих черные дыры, связана с тем, что они являются решениями «типа D», а также с теоремой Гольдберга—Сакса (эти вопросы мы будем рассматривать в § 9 настоящей главы и в последующих главах).
а. Изотропный базис и спиновые коэффициенты. В основе формализма Ньюмена—Пенроуза, как уже упоминалось, лежит выбор изотропного базиса, состоящего из пары действительных изотропных векторов 1 и п и пары комплексно сопряженных
* Первоначально Пенроуз рассматривал изотропный базис для введения в общую теорию относительности спинорного анализа. В гл. 10 (§ 102) мы кратко рассмотрим альтернативный подход к формализму Ньюмена — Пенроуза.
нением (257))
(277)
Y(C) (Ь) (с) — ?(/•) (а) (с) — 1I(O) (Ь), (с).
(278)
56
Глава L Математический аппарат
изотропных векторов тит. Требуется, чтобы эти векторы удовлетворяли условиям ортогональности:
Im = Im = nm = n m = 0 (279)
и, разумеется, условиям изотропности:
ll = nn = mm = mm=0. (280)
Кроме того, на базисные векторы обычно налагают следующие условия нормировки:
ln=l, mm = —1.
(281)
Строго говоря, нет необходимости налагать эти условия нормировки (ср. с § 7, д). Например, Пенроуз в некоторых последующих работах предпочитал не накладывать условия (281), что лучше согласуется с его представлениями о пространстве-времени как о структуре световых конусов. Но для целей настоящей книги преимущества дополнительной свободы выбора базисных векторов не настолько велики, чтобы забыть о недостатках, связанных с потерей антисимметричности коэффициентов вращения Риччи по первым двум индексам и, что более серьезно, с потерей свойства перестановочности операции поднятия и опускания тетрадных индексов с операциями дифференцирования по направлению и внутреннего дифференцирования. По этой причине мы сохраним нормировочные условия (281). Тогда фундаментальная матрица из величин r](fl) (Ь) есть постоянная симметричная матрица вида
h(a) (b)] = Wa) <*>] =
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
—1
0
0 -
-1
0
(282)*
если мы примем следующую нумерацию векторов тетрады (ср. § 7, а):
ei = I» е2 =" п> ез = m, = т. (283)
Соответствующий ковариантный базис имеет вид
еА = е2
п,
е2 = ех = 1, е3 = —е4 =
-т,
е4 = —е.< = —т.
(284)
Базисные векторы, рассматриваемые как производные по направлению, в формализме Ньюмена—Пенроуза имеют специальные обозначения:
— о1
(285)
Єї = е2 = D; е2 = еА = Л;
е3 = -е4 = 6;
б*.
* В дальнейшем мы будем опускать скобки, с помощью которых отличали тетрадные индексы, когда это не будет приводить к недоразумениям.
S. Формализм Ньюмена—Пенроуза
57
Различные коэффициенты вращения Риччи, которые теперь называются спиновыми коэффициентами, также имеют специальные обозначения:
и =
Узіи
P
— Узи>
є —
V2 (Ї211
-f- Ys«);
G =
v3is;
(a
У =
V2 (Ї212
+ Y:J42);
X —
У 214 'у
T
— 7з12*>
а =
V2(Y2M
+ Y.344);
V =
?242;
Ti
= V2Ib
?=
V2 (Y213
+ Ys43)-
(286)
Очевидно, что комплексно сопряженные величины будут по* лучаться заменой индекса 3 всюду, где он встречается, на индекс 4, и обратно. Это общее правило.
б. Представление тензора Вейля, тензора Риччи и тензора Римана в формализме Ньюмена—Пенроуза. Тензор Вейля вводится как бесследовая часть тензора Римана, поэтому его тетрадные компоненты определяются из соотношения (ср. с уравнением (233))
Rabed ~ С abed ~Ь V2 {^acRbd ~~ ^bcRad ~~ - *}adRbc + ^bdRac) - V6 СПас'Ы ~ ЛеиЛЬс) Ry (287)
где Rab — тетрадные компоненты тензора Риччи, a R — скалярная кривизна:
