Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
ввести в трехмерном пространстве локально, т. е. в конечной области, ортонормаль-ную систему криволинейных координат, несмотря на ее элементарный характер, по-видимому, не упоминается ни в одном стандартном курсе дифференциальной геометрии. Действительно, ссылка на работу Коттона
3. Cotton Е. Ann. Fac. Sei. Toulouse, Ser. 2, 1, 385—438, 1889 (см. p. 410) есть в книге А. 3. Петрова:
4. Петров А. 3. Пространства Эйнштейна. — M.: Физматгиз, 1960, в примере 5 на с. 44.
Мы соединили в названии теоремы имена Коттона и Дарбу, потому что моделью доказательства, данного Коттоном, служит доказательство Дарбу соответствующей теоремы для евклидовых пространств:
5. Darboux G. Lecons sur les Systemes Orthogonaux et les Coordinnees Curvilignes, Gauthier-Villars, Paris, 1898, pp. 1—2.
Я благодарен проф. А. Траутману за его советы по этим вопросам. § 13. Тетрадные компоненты тензора Римана для той же метрики, что и в данном параграфе, но при условии аксиальной симметрии, выписаны в работе
6. Chandrasekhar S., Friedman J. L. Astrophys. J., 175, 379—405, 1972.
§ 14 и 15. Исследование, проведенное в этих параграфах, является обобщением работы
7. Chandrasekhar S., Xanthopoulos В. С. Proc. Roy. Soc. (London) А, 367, 1 — 14, 1979.
Глава З
ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ ШВАРЦШИЛЬДА
16. Введение
Полное понимание структуры пространства-времени Шварц-шильда, содержащего горизонт событий и истинную сингулярность в центре, достигнуто сравнительно недавно. В настоящей главе при выводе метрики Щварцшильда мы не будем проходить весь исторический путь, а (следуя в основном Сингу) обратим внимание на существенные особенности пространства-времени. Поскольку изучение геодезических в пространстве-времени Шварц-шильда позволяет понять некоторые основные черть^ многообразий, содержащих горизонты событий, мы посвятили их исследованию два параграфа — возможно, немного больше, чем необходимо. Заканчивается глава описанием пространства-времени Шварцшильда в формализме Ньюмена — Пенроуза и доказательством принадлежности этого многообразия типу D.
17. Метрика Шварцшильда
Метрика Шварцшильда является сферически симметричным решением уравнений Эйнштейна в пустоте. Следуя Сингу, определим сферически симметричное пространство-время как декартово произведение S2 X U2 двух многообразий: единичной двумерной сферы S2 и двумерного многообразия U2 с индефинитной метрикой. На S2 мы введем обычные полярные координаты (О, ср). Метрика на S2 в этих координатах имеет вид
На многообразии U2 метрика индефинитна, следовательно, должны существовать изотропные линии
Мы используем эти линии в качестве координатных линий на U2. Выбрав таким способом координаты на S2 и U2, можно записать наиболее общую метрику сферически симметричного пространства-времени в следующем виде:
dQ2 - (сШ)2 + (dcp)2 sin2 9.
(1)
и = const, V = const.
(2)
ds2 = 4/ du dt) - e2^ [(de)2 + (dq>)2 sin2 9],
где f и (i3 — функции U И V. Метрику (3) подстановками
(3)
(4)
4 Чандрасекар С.
98
Глава 3. Пространство-время Шварцшильда
можно привести к виду
ds2 =, / [(dx0)2 - (Ux2Y] - е2Мз l(do)2 +¦ (с1ф)2,зіп2 9].;j (5)
Это частный случай метрики, рассмотренной в гл. 2. Если ввести обозначения
/ ¦= е2^, е2^ = е2^ sin2 9, dx1 = d<p, dx3 — d9, dx' = і dx°, (6) то метрика принимает вид
—ds2 = ?>2и2 (dx*)2 -f е2^ (dx^f + є2*** (dx2)- + е2^ (d*3)2. (7) Сравнивая с метрикой, введенной в § 13, видим, что
Яг = Qs = = 0, ^4 = ^2» е* = ?'из sin 9> (8)
и при таком выборе метрики
V4 = 1*8,4, V2= Ji3,2, ^3 = Ctg 9, (9)
где \х2 и |i3 — функции двух переменных x2 и X^.
Теперь нетрудно выписать компоненты тензора Римана (ср. с уравнениями (75а) —75 (х) гл. 2) для рассматриваемого специального случая:
-—#1212 = —#2323 = — е-^-^г (^»-^3,2). 2 — ^-2^2 Цз, 4^2, 4 =
= -0-211,, [ц3 22 _j_ (X3, 2 (Цз — JbI2), 2 -f ЦЗ, 4^2,4], (10а) —#1414 = —#3434 = — Є-^-^(Є^-^ІІг,4:), 4 — ^2Ц3, 2^2, 2 =
= —Є-2»* [^3,44+ ЦЗ,4(ЦЗ— (Ы2), 4 + |ЫЗ,2(Ы2,2], (Юб) — #1214 = +#2334 = — е~^-^ (Є^~^Щз,2), 4 + Г2^(13|4^,2 =
= — Є~2^ ЇМ*. 24 + ЦЗ,2 (М-3 — №>), 4 — Цз,4Цо>2], (Юв)
-#131з - в-2^з _ е-2^ [(ііг>2)2 + (ц3,4)2], (Юг)
— #2424 — — е~2^ (ll2, 44 + Ц2. 22). (Юд)
Остальные компоненты равны нулю.
В силу уравнений Эйнштейна компоненты тензора Риччи должны быть равны нулю:
-#22 ~ #1212 ~Ь #2323 ~Ь #24?4 = 2#1212 + #2424 = 0> (H)
-#44 = #1414 + #2424 + #3434 2#i4i4 + #2424 = 0, (12)
-#11 = #1212 ~Ь #1313 ~Ь #1414 = 0» (13)
-#33 — #1313 ~Ь #2323 + #3434 = 0, (14)
и единственная недиагональная компонента тензора Риччи, не равная тождественно нулю, есть
#24 = #2114 "Ь #2334 = 0. (15)
Легко видеть, что уравнения (106) и (И)—(15)жтребуют, чтобы
#1212 = #1414 ~ ^2#2424 = ^#1313»
#2334 = #1214 = 0. (16)
17. Метрика Шварцшильда
99
Переходя снова к пространственно-временной координате л;0, имеем Щ
#1212 —
#1010 — ^2#2020 — -^#1313» #1210 — 0>
