Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
—#1212 = — Є-*-»*&>2 (Vb-^W2) — е-2^W^2:3 ~ ^^^4^:4 —
- х)л + i//*~2^ [e~^3Q223 -j- e-2^Ql}\ (75а)
- є+-»* ! + V/^3 [е"^(& + e-^Ql*]; (756)
- (^-V.О. і + V4«2*"2144 [^2fX2Q24 + e-2^Ql}; (7бв)
— #2323 — [(^2-^3(Х2:з):3 + (^"^3:2): 2І — Є~2^\І2>А^2Л ~
- 3/^-2^.-2^(? _ ^-2^ ^ і; (75г)
— #2424 = —в-М-2-М-4 [(^«-^4^3.4).4 j- (^-^^4:2):2] - ^^^4:3^2:3 ~
- 3/4^-2,2-2,4Q24 _ -2^ ^ і; (?бд)
—#3434 = —Є-»*-»* [(Є^-^ііза)л + (^4"^|Ы4:з):з] —
^-2.^2.. 3/ рЧ-2іх3-2\ііГ)2 ^-2фм .. . /7Ср\
— Є М-4:2^3:2 — /4е V34 ~ 6 М<3,іМ,Ь V'0^
—#і2із =- — е-^-^з^-^ЧУ + е-і*«-»*> Y3[i3^ +
+ %(**-*»*-**--»>Q43QA2 + V2^«-»4' [Q23, і + Q23(^3 - и« + Ф). її?
(75ж)
92
Глава 2. Пространство-время достаточно общей структуры
—#1214 ^ —6-^-^01(^-^3) + 2-^-^4^4:2 +
+ !/4^-^-^-^(234(232 + 1/2е-М"-^ [Q24, 1 + <224 (|Л ~ |*2 + t), 1ІЇ
(75з)
— #,314 ==• — е-Ф-^«04 (6¦-^•V3) + е-^-^Щ* +
+ l/4e2*-^2-M's-^'Q24Q23 + 112Є-^-^ [Q34, 1 + Q34 (Щ - ЦЗ + і].
(75и)
-#1223 = ^-2»«-"•Q23 (^2 - V2N:2) + l!2e-^-^ (e*-^Q2?):2 + + V2e,|J-2tll-^3Q43^2:4 + е-^-^ (е-*+^2|я2, і):3 ~ Є~^-^3,1^2:3, (75к)
_#1224 = e*-2».-M.QM (ip2 - l/aR:2) + !/je-*«-*. H^Q24): 2 + + !/2^-^^-^^34^2:3 + e-^-»1« (Є-*+^^2, i):4 - e-*-*\U4, іЦ2:4, (75л)
— #1334 = e*-2^-^Q34 (Y3 - V2H43) + !/2e-^-M« (e*-^Q34):3 +
+ V2e*-2^-^Q24H3:2 + Є~»*-»' (Ц-*-^Цз, l):4 — 2"*-»^: ifX3:4, (75м) —#1332 = «¦-^¦-1'•Q32 (^3 - Vjf*2:3) + Va?-^-112 (^-^^32):3 + + 1/аЄ4>-2ц.-|і, Q42jH3:4 + Є-М.з-Ц2 (е-И>+И»ц3> ,):2 — e-*-^|H2t ,fl3:2, (75н)
— #1442 = «+-2^-Q42 (Y4 - V2(^4) + ЧіТ»*'»' (?¦-^•042):4 +
+ 1/гЄ,|,-2М"'~Д*<2з2Щ:3 + Є-Й4-Иі (Є-*+»»«Ц4, ,):2 — 6^-^^2,іЩ:2, (75o)
—#1443 = e*-^.-^»Q43(Y4 - VaH3rt) + V^*-** (^-•14Q43): 4 + + !/2^-^-^23^4:2 + e-^«-^3 (е~*+^Щ, ,):3 - ?-¦-»'•(13. і|І4:3, (75п) —#2334 = e-^-^ [Ц3.24 + Цз:2 (Мз — ^):4 ~ ^3:4^4 :2] —
- 3/4e2,1'-tl2-2,i3-tl*<223Q34 - 1/2Є-Цг_Д^24^3, 1, (75p) —#3224 = Є-»>-»' [Ц2:34 + (І2:з(Ц2 — :4 ~ ^2:4^4:з] ~
- 3/4e2*-^-2^-^Q32Q24 — Ч^г-^-ЩмРе. і. (75c)
—#3442 = e-^-*12 [Ц4:32 + Ц»:3 (М-1 — ИяЬ ~ Ц4:2Ц2:з] —
_ 3/4e2^-na-2m-n2Q34Q42 _ l/2e-^3-|i2Q32|^4),, (75Т)
—#1234 = [(e*-l*»Q24):3 - (^-»»Q23)*] +
+ !/2e*-M2-Ma-l*,Q34 (2^2 - Ц3:2 - (I4J2), (75y)
—#1423 = ЧіЄ-»'-^ [(6¦-^Q43): 2 — (e*-^)*] +
+ Vi^-^'-^Qa (2Y4 - Ц2:4 - 1*3:4), (75ф)
—#1342 = Vae-»'-«4' [(?¦-»'^82):4 ~ (^3Q31): 2] +
+ V,e*-»»-»«-* Q42 (2Y3 - Щ:з - |*2:з). (75x)
Нужно заметить, что, меняя порядок индексов 2, 3, 4, можно получать формально различные выражения для одних и тех же компонент тензора Римана с точностью до свойств симметрии.
14. Компоненты тетрады
93
Например, подставляя уравнения (68), (70) и (71) в выражение для Q3 и собирая члены, пропорциональные со1 Д со3, получим
—#2313 = 1/2Є^~іі^з{Є2^-^-^2з) - е-^-^ (^3-^3:2), 1 +
+ V2*«-»*«-2»*»Y3Q23 + ?-*-*4«?, 1 - V2^-2^4-^2Q4?|bl3:4. (76)
Совсем не очевидно, что это выражение для /\23i3 лишь знаком отличается от выражения для #1332 (уравнение (75н). В этом можно убедиться, расписывая оба выражения и используя определения производной (49) и оператора ФА (64). Не всегда легко установить подобные равенства: в процессе доказательства часто приходится пользоваться совсем не очевидными тождествами, например тождеством
Q[23:4] - Q[23^4], 1 = 0. (77)
Компоненты тензоров Риччи и Эйнштейна, можно получить, комбинируя соответствующим образом компоненты тензора Римана. Например,
-#11 — #1212 H- #1313 H- #1414 И Т. Д.>
#12 = G12 — #1332 ~Ь #1442 И Т. Д.,
(78)
Х/2# = #1212 ~Ь #1313 ~Ь #1414 ~Ь #2323 ~Ь #2424 Н~ #3434» Gn = #2323 + #2424 ~Ь #3434 И Т« Д-
Здесь мы не будем выписывать эти выражения явно: в последующих главах мы рассмотрим различные конкретные случаи.
Отметим наконец, что обратный переход от (комплексной) координаты х4 к (действительной) пространственно-временной координате х° (=/) осуществляется посредством следующих замен:
—Zd4->d0; |i4->v; qi-^—m. (79)
14. Компоненты тетрады
и коэффициенты вращения Риччи
В некоторых случаях, например при работе с уравнениями Максвелла (§ 15), удобно использовать тетрадный формализм. При этом нужно иметь коэффициенты вращения Риччи в подходящем тетрадном базисе. Тетрадный базис, который мы здесь выберем, является аналитическим продолжением на случай сигнатуры (+, —, —, —) комплексного базиса, использовавшегося в § 13 при сигнатуре (—, —, —, —). Явный вид ковариантных и контравариантных векторов, составляющих ортонормирован-ный базис, следующий (ср. с уравнениями (18) и (19)): *<о) і - {е\ 0, 0, 0), е{1) і г, (юеФ, —е*, q2e*y
е{2) і = (0, 0, -е»; 0), е(3), = (0, 0, 0, -е»>). ( }
е[0) - (е-\ ш~\ 0, 0), е{Х) = (0, е-*, 0, 0), ^2) = (0, q*-»*> е-»2* O)9 е{3) = (0, Чъе-»>9 0, е-**). ( }
94 Глава 2. Пространство-время достаточно общей структуры
В гл. 1 (§ 8, б) мы продемонстрировали наиболее удобный метод вычисления коэффициентов вращения Риччи с использованием Х-символов (гл. 1, уравнение (266)):
