Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
102
Глаза 3. Пространство-время Шварцшильда
должны описывать совершенно различные физические ситуации. Поскольку изменение знака г производит тот же эффект, что и изменение знака M9 ясно, что та ветвь соотношения (55), для которой г < 0, соответствует отрицательным значениям М. Вскоре мы увидим, что M имеет смысл массы, поэтому ограничимся случаем г > 0 и M > 0.
Рис. 2. Геометрия Шварцшильда в координатах и к v (эквивалентных координатам Крускала). Световые конусы в каждой точке образуются изотропными геодезическими и = const и V = const, проходящими через эту точку. Кривые.постоян-ных значений t—радиальные линии, проходящие через начало координат, а кривые постоянных значений г — гиперболы. Штриховая линия — возможная времениподобная траектория, пересекающая горизонт.
В плоскости (и, v) кривые постоянных значений г — гиперболы, асимптотами которых служат координатные оси. «Изора-диальные» кривые в случае г > 2М лежат на рис. 2 в квадрантах I и III, а в случае г < 2М — в квадрантах II и IV. Оси координат — геометрическое место точек, где г = 2М. Световые конусы в каждой точке образуются изотропными геодезическими и = const и и = const, проходящими через эту точку. Расположение световых конусов на рис. 2 показывает, что никакая времениподобная (или изотропная) траектория при движении в направлении возрастания г в квадранте II никогда не попадает в квадрант I. Этот геометрически очевидный факт (который бу-
17. Метрика Шварцшильда
1OS
дет строго обоснован в § 19 и 20) свидетельствует о том, что поверхность г — 2М является горизонтом событий.
Пространство-время Шварцшильда обладает еще одним важным свойством: как явствует из рис. 2, если при движении вдоль времениподобной траектории в направлении в будущее (и при этом в направлении убывания г) мы пересечем горизонт на поверхности г = 2М и попадем в квадрант II, то с необходимостью пересечем геометрическое место точек с г = 0, где становится равным нулю элемент собственного объема. Другими словами, все, что пересекает горизонт, будет раздавлено, сжато «в ничто» при г = 0. В этом причина появления сингулярности на линии г = 0 в пространстве-времени Шварцшильда, существование которой подтверждается еще и тем, что все ненулевые компоненты тензора Римана в локально инерциальной системе отсчета расходятся при г = 0 и регулярны во всех остальных точках (см. уравнение (75) в § 18).
в. Переход к координатам Шварцшильда. Пусть
vi и = ехр ІЇ/2М]. (56)
Эта подстановка имеет смысл в квадрантах I и III. В этих квадрантах кривые постоянного t — прямые линии, проходящие через начало координат. В частности, t = 0 — линия и = +у, при t -> +оо прямая приближается к оси v (поворачиваясь против часовой стрелки), а при t ->—оо к оси и (поворачиваясь по часовой стрелке).
Ограничим наше рассмотрение квадрантами I и III. Имеем
ctt = 2M (+-+). (57)
Кроме того, заменяя Z на г в уравнении (50), получаем
т^лг = 2*(4 + ^)- (M)
Из этих уравнений^следует
и метрика (51) принимает вид
ds2 = (1 - 2MIr) (dtf - { М2М/г - г2 [(d9)2 + (dcp)2sin29]. (60)
Это наиболее известная форма метрики Шварцшильда, и именно в таком виде ее впервые получил Шварцшильд. Наш же способ вывода подчеркивает применимость подобной записи только в квадрантах I и III. Но запись метрики в форме (60) имеет некоторые преимущества. Становится очевидным, например, что радиальная координата г есть «яркостное расстояние» в том смысле, что площадь поверхности сферы «радиуса» г равна 4лг2 и что t
104
Глава 3. Пространство-время Шварцшильда
есть мера собственного времени наблюдателя, покоящегося на бесконечности. Далее, асимптотика при г оо говорит о том, что метрика (60) описывает пространство-время вне сферически симметричного распределения вещества, инертная масса которого равна М. И наконец, поскольку метрические коэффициенты не зависят явно от времени и вдобавок нет увлечения инерциальной системы отсчета (см. § 11, а), пространство-время является статическим для наблюдателя вне горизонта. Последнее утверждение и есть теорема Биркгофа в обычной формулировке.
В заключение этого параграфа отметим, что для наблюдателя, чья мировая линия целиком лежит в квадранте 1 на плоскости (а, и), перемещение от произвольной точки квадранта I до горизонта вдоль любой времениподобной и изотропной траектории занимает бесконечное время (в § 19 и 20 мы проиллюстрируем на примере это явление). Кроме того, поскольку никакая времени-подобная или изотропная траектория не может выйти из квадранта II в квадрант I, события во внутреннем относительно поверхности г = 2М пространстве недоступны для наблюдения в квадранте I: сигналы из области внутри горизонта г = 2М не проходят в область вне горизонта. Именно такой смысл вкладывается в понятие «горизонт событий», и именно в этом смысле метрика Шварцшильда описывает пространство-время черной дыры.
18. Альтернативный вывод метрики Шварцшильда
Метрика Шварцшильда в стандартной записи (60) играет важную роль в наших исследованиях. Полезно поэтому вывести ее, пользуясь с самого начала координатами rut. Кроме того, это позволит получить различные компоненты тензора Римана сразу же в этих координатах, что нам также пригодится.
