Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
^period ^ Tn [(I - 3(1)/(1 - 6|l)]l/2, /period = Tn(I - 6(1)-1/2. (145)
(Заметим, что /period-> °°, когда \*>-+lU и гс 6/И.)
(?) Случай 2(х (3 + ё) = /. В этом случае расстояние в перицентре гр равно
rp = //(1 + в) = 2М (3 + ё)1(\ + е), (146а)
а в апоцентре
rap = 2М (3 + е)/(\ -ё). (1466)
Видно, что расстояние в перицентре может меняться лишь в пределах
4M <: гр <6М. (147)
Кроме того, для этих орбит
(LIMf = 4 (3 + е)2/(3 — ё) (1 + е),
1 — E2 = (1 — е2)/(9 — в2). (148)
В рассмотренном случае модуль k эллиптического интеграла, через который записывается решение (132), становится равным 1, и поэтому удобно вернуться назад к уравнению (126), которое дает
(-^-)2 = 4nesin*(x/2), -^- = -2(H1/2sin(x/2), (149)
где отрицательный знак выбран для того, чтобы угол ф возрастал (от нуля) при движении от апоцентра к перицентру, когда % убывает от я — значения в апоцентре до О — значения в перицентре. Уравнение (149) при этих условиях имеет следующее решение:
ф = — (^)-1/2 In tg 0(/4) (ф = О при % = я). (150)
Уравнение (150) показывает, что ф-> оо, когда % -> О и достигается перицентр. Другими словами, орбита приближается к окружности радиуса гр асимптотически по спирали (в направлении против часовой стрелки), совершая бесконечное число витков. Ниже мы покажем, что эта орбита «продолжается» внутрь
19. Времениподобные геодезические
117
окружности как орбита второго рода, которая затем заканчивается на сингулярности (см. рис. 7а (г)).
(у) Постньютоновское приближение. Релятивистские поправки первого порядка к кеплеровским орбитам ньютоновской теории могут быть легко выведены из уравнения (126), если заметить, что при обычных условиях величина \i = MIl очень мала: она равна отношению радиуса Шварцшильда (~2 км) к большой оси орбиты планеты или системы двойной звезды (~106—108 км). Разлагая затем уравнение (126) в ряд вплоть до членов первого порядка по (ы, получаем
—аф = dx (1 + 3|я + lie cos х), (151)
—Ф = (1 + 3(ы) % + \ie sin X + const. (152)
Из уравнения (152) следует, что изменение угла ф за полный оборот (при изменении X на 2я) равно 2(1 + 3jx) я. Следовательно, опережение Дф в перицентре за один оборот равно
Дф - 6пМ/1 = блМ/а (1-е2), (153)
где а — большая полуось кеплеровского эллипса. Этот стандартный результат был впервые получен Эйнштейном.
//. Орбиты второго рода. Как уже говорилось, орбиты второго рода начинаются на расстоянии и'1 в апоцентре, а кончаются на сингулярности г = 0. Важно отметить, что вследствие соотношений U1 + U2 + U3 = 1/2М и U1 + U2 > 0 имеет место неравенство и3 < 1/2M9 и, следовательно, все орбиты начинаются вне горизонта.
Решения для этих орбит получаем, если вместо (124) сделаем следующую подстановку:
и = (1/2ЛГ — 211) + [1/2Af — (3 + e)ll) tg2 (6/2). (154)
В результате имеем
и = и3 = 1/2М — 2//, когда 6=0,
и -> оо, когда ?-> я. (155)
Далее находим, что уравнение (109) сводится теперь к уравнению
(-?2 = (1 - 6|i + 2Ме) (1 - ?2sin2(|/2)), (156)
причем k2 определяется так же, как и для орбит первого рода. Уравнение для ф, следовательно, может быть выражено через тот же самый эллиптический интеграл (130). Таким образом, можно записать (ср. уравнение (132))
Ф = 2 (1 — 6|я + 2\ie)-^ F (6/2, k). (157)
В апоцентре 6 = 0 и ф = 0, ав бингулярности и ф при-
нимает конечное значение
Фо ^ 2 (1 — + 2|ie)-i/2 K(k)9
(158)
ПО
Глава 3. Пространство-время Шварцшильда
где К (к) обозначает полный эллиптический интеграл
я/2
K(k) --¦= J(I-^2SIn2V)-1Z2CiV. (159)
о
Примеры орбит, вычисленных на основе уравнения (157), показаны на рис. 7а (а)—(в).
Выражения для собственного времени т и координатного времени / могут быть получены интегрированием уравнений
dx __ 1 d(p dt__E__dcp^ (]Af)\
~df~ ~~ Tu*~~df' "df" ~ Lu2 (1—2Mu) dg * ^ '
Появление множителя (1 — 2Mu)'1 в правой части уравнения для d//d| показывает, что интеграл для t расходится, когда и -> -> М2М. Та часть этих орбит, которая соответствует г < 2M1 следовательно, недоступна наблюдателю, находящемуся все время вне горизонта, и этот факт отражает то же явление, что и в случае радиальных геодезических, и подтверждает результаты, полученные из общих соображений в § 17, б и е. Важно отметить также, что все орбиты, пересекающие горизонт, с необходимостью оканчиваются в центре — в этом проявляется сингулярный характер пространства-времени в точке г = 0.
Снова рассмотрим два специальных случая е = 0 и 2(1 (3 + е) = 1.
(а) Случай е = 0. В этом случае (поскольку k2 также равно нулю) уравнение (156) интегрируется, и в результате получаем
г = (і - бц)>/2 (ф - ф0), (lei)
где ф0 — постоянная интегрирования. Соответствующее решение для и имеет вид
и = Ml + (1/2Af — 3//) sec2 [V2 (1 — 6(1)1/2 (ф — ф0) ]. (162) Эта орбита с «нулевым эксцентриситетом» не является окружностью! Начинаясь с расстояния и^1 в апоцентре (причем ЗМ < < U^1 < 6М), когда ф = фо, она заканчивается в сингулярности г = 0 при
