Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
175
собираемся подробно излагать здесь историю этого вопроса (см. Исторический очерк к главе V); следует лишь напомнить данное Руффини, а затем Коши ((VI), (2), т. I,стр. 64) определение «произведения» двух подстановок конечного множества *) и первоначальных понятий, относящихся к конечным группам подстановок: транзитивности, примитивности, нейтрального элемента, перестановочных элементов и т. д. Ho эти первые исследования оставались, в целом, довольно поверхностными, и действительным родоначальником теории должен считаться Эварист Галуа: сведя в своих знаменитых работах (VIII) изучение алгебраических уравнений к изучению связанных им с ними групп подстановок, он значительно углубил это последнее как в том, что касается общих свойств групп (так, Галуа первый определил понятие нормальной подгруппы и осознал его важность), так и в нахождении групп, обладающих специальными свойствами (где полученные им результаты и ныне числятся среди наиболее тонких результатов теории). Галуа принадлежит также первая идея «линейного представления групп» **), а этот факт ясно показывает, что он владел понятием изоморфизма двух групповых структур, независимого от их «реализаций».
Однако, хотя и представляется несомненным, что гениальные методы Гаусса и Галуа привели их к весьма широкому взгляду на понятие закона композиции, им не представилось случая специально развить свои идеи на этот счет, и их работы не оказали непосредственного воздействия на эволюцию абстрактной алгебры ***). Наиболее ощутимый прогресс по пути абстракции был достигнут в третьем направлении: развивая идеи относительно природы мнимых чисел (геометрическое представление последних вызвало в начале XIX века появление довольно многочисленных работ), алгебраисты английской школы в 1830—1850 гг. первыми выделили абстрактное понятие закона композиции и немедленно расширили область алгебры, применив это понятие к множеству новых математических созданий: алгебре логики у Буля (см. Исторический очерк к главе IV Книги I), векторам, кватернионам и общим гиперкомплексным системам у Гамильтона (IX), матрицам и пеассоциативным законам у Кэли ((X), т. I, стр. 127 и 301 и т. II, стр. 185 и 475). Параллельная эволюция независимо протекала на континенте Европы, особенно в том, что касается векторного исчисления (Мёбиус, Бел-
*) Разумеется, понятие сложной функции было известно гораздо раньше, по крайней мере для функций вещественного или комплексного переменного, но алгебраический аспект этого закона композиции и связь с произведением двух подстановок были выяснены лишь работами Абеля ((VII), т. I, стр. 478) п Галуа.
**) Именно в этой связи Галуа, смело распространяя «формализм», приведший к комплексным числам, рассматривает «мнимые корни» сравнения по простому молулю и открывает так конечные поля, изучаемые нами в главе V.
***) При этом идеи Галуа до 1846 г. оставались неизвестными, а идеи Гаусса оказали прямое воздействие лишь на теорию чисел.
176
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
ГЛ. I
лавитис), линейной алгебры и гиперкомплексных систем (Грассман), о чём подробнее будет сказано в Историческом очерке к главам II и III *).
Из этого кипения оригинальных и плодотворных идей, которое в первой половине XIX века вдохнуло в алгебру новую жизнь, она вышла обновленной до самих своих устремлений. Прежде ее методы и результаты концентрировались вокруг задачи решения алгебраических уравнений (или диофантовых уравнений в теории чисел): «Алгебра,— говорит Ceppe во введении к своему «Курсу высшей алгебры» (XII),—есть, собственно говоря, анализ уравнений». После 1850 г., хотя руководства по алгебре п предоставляли еще долгое время приоритет теории уравнений, над новыми исследованиями уже не доминировала забота о непосредственных применениях к решению численных уравнений, и они всё более и более ориентировались на то, что мы сегодня рассматриваем как основную задачу алгебры, а именно изучение алгебраических структур самих по себе.
Эти работы довольно отчетливо разбиваются на три течения, продолжавшие соответственно три рассмотренных выше направления идей и продвигавшиеся параллельно без ощутимого взаимного влияния вплоть до последних лет XIX века **).
Это, прежде всего, построение немецкой школой XIX века (Дирихле, Куммер, Кронекер, Дедекинд, Гильберт) теории алгебраических чисел, восходящей к Гауссу, которому принадлежит первое исследование такого рода, а именно исследование чисел a + bi (где а и 6 рациональные). Мы не будем прослеживать здесь эволюцию этой теории: для наших целей нужно лишь отметить порожденные ею абстрактные алгебраические понятия. Начиная с первых преемников Гаусса, идея поля (алгебраических чисел) лежит в основе всех работ в этом направлении (как и исследований Абеля и Галуа по теории алгебраических уравнений); область ее применений расширяется, когда Дедекинд и Вебер (XIII) строят теорию алгебраических функций одной переменной по образцу теории алгебраических чисел. Дедекинду
(XIV) мы обязаны также введением понятия идеала, дающего новый пример закона композиции множеств элементов; к Дедекинду и Кронекеру восходит обнаружение роли, далее всё более возрастающей, которую играют коммутативные группы и модули в теории алгебраических полей; мы вернемся к этому в главах II, V и VII.
