Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
(IV) G. W. Leibniz, Matbematische Sehriften, изд. С. I. Gerhardt, т. V, Halle (Schmidt), 1858.
(V) С. F. Gauss, Werke, т. I (Gottingen, 1870), т. II (там же, 1863) и VIII (там же, 1900).
(VI) A. L. Cauchy, Oeuvres completes (2), т. I, Paris (Gauthier-Villars), 1905.
(VII) N. H. A b e I, Oeuvres, 2 тт., изд. Sylow и Lie, Christiania, 1881.
(VIII) E. Galois, Oeuvres mathwnatiques, Paris (Gauthier-Villars),
1897. [Эварист Галуа, Сочинения, М.— Л., ОНТИ, 1936.J
(IX) W. R. Hamilton, Lectures on Quaternions, Dublin, 1853.
(X) A. Cayley, Collected mathematical papers, тт. I и II, Cambridge (University Press), 1889.
(XI) H. H a n k e I, Vorlesungeii iiber die complexen Zahlen und ihre Functionen, I. Teil: Theorie der complexen Zahlensystpme1 Leipzig (Voss). 1867.
(XII) J. A. S e r r e t. Couisd'Algebiesupi'rieiire. :)-e илд., Paris (Gauthier-Villars), 1866.
(XIII) R. D e d e k і n il und H. AN' e b e r. Tlieorie der algebraischen
Funktionen einer VeranderIirhen1 .1. de Crelle. т. XCl I (1882), стр. 181.
(XIV) R. D e (I e k і n d. Gesammplte matheniatische Werke, 3 тт.. Braunschweig (Vieweg)1 19.42.
(XV) С. .1 о г (I а п. Traite des substitutions et dps pquntions algebriques, Paris (Gaiilhier-Villuvs), 1870.
180 БИБЛИОГРАФИЯ ГЛ I
(XVI) С. Jordan, Memoire sur Ies groupes de mouvements, Ann.'di
Mat. (2), т. II (1868), стр. 167.
(XVII) W. Burnside, Theory of groups of finite order, 2-е изд., Cambridge, 1911.
(XVIII) A. S p e і s e r, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, 3-є изд., Berlin (Springer), 1937.
(XIX) H. Zassenhau s, Lehrbuch der Gruppentheorie, т. I, Leipzig—
Berlin (Teubner), 1937.
(XX) B. L. van der W a e r d e n, Moderne Algebra, 2-е изд., т. I, Berlin (Springer), 1937; т. II (там же), 1940. [Б. JI. Ван-дер-В а р д е н,
Современная алгебра, ч. І, М.— JI., Гостехиздат, 1947; ч. II (там же), 1947.]
ГЛАВА II
ЛИНЕИНАЯ АЛГЕБРА
В этой главе, если только не оговорено противное, никаких специальных предположений о рассматриваемых кольцах операторов не делается', они могут быть коммутативны или нет, иметь или не иметь единицу, содержать или нет делители нуля.
§ 1. Модули
Эта глава посвящена в основном изучению специального вида коммутативных групп с операторами (гл. I, § 6, п° 9), а именно модулей. Некоторые свойства модулей, сформулированные в первых двух параграфах, справедливы (как и их доказательства) для всех коммутативных групп с операторами, что в соответствующих местах отмечается. Впрочем, как будет показано в п° 9 § 7, изучение любой коммутативной группы с операторами всегда может быть сведено к изучению надлежащим образом ассоциированного с ней модуля.
/. Определение модулей
Определение 1. Левым модулем относительно заданного кольца А (или левым модулем над А, или также левым А-модулем) называют множество Е, наделенное алгебраической структурой, определяемой заданием:
I0 коммутативного группового закона на E (с аддитивной записью)-,
2° всюду определенного внешнего закона композиции (а,х)—> -^¦аТх, имеющего своей областью операторов кольцо А и удовлетворяющего следующим аксиомам:
182
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. XI, § 1
(M1) aj(x+y) = (а т х) S (а-]” ?/) ? ксхковы бы ни были a ^ А, з* ^ E, У?Е;
(M11) (а+ P)Tz= (аТ^)+ (РТ^), каковы бы ни были ag А, Рб А. х?Е\
Мщ)«Т(РТж) = (аР)Т^, каковы бы ни былиа^А, Рб-4, х?Е.
Аксиома (M1) означает, что внешний закон Л-модуля дистрибутивен относительно заданного на E сложения; тем самым модуль всегда является коммутативной группой с операторами.
Если в определении 1 вместо аксиомы (Мщ) выполняется аксиома
(Mni) a T (PT х) = (Pct)Tz, каковы бы ни были ctg A, Pg А, х?Е.
то Е, наделенное определяемой так алгебраической структурой, называют правым модулем относительно А, или правым модулем над А, или также правым А-модулем.
Для внешнего закона композиции левого (соответственно правого) модуля чаще всего используют мультипликативное обозначение, записывая оператор слева (соответственно справа); условие (Мш) записывается тогда в виде а (Pa;) = (оф) х, а условие (Mni) — в виде (х$)а=хфа).
Каждый правый модуль над кольцом А есть левый модуль над кольцом A0, противоположным А (гл. I, § 8, n° 1). Это показывает, что при изложении свойств модулей можно систематически ограничиваться рассмотрением либо левых, либо правых модулей; за исключением § 6 (где в целях удобства обозначения рассматриваются правые модули), мы будем вести изложение применительно к левым модулям и, говоря (просто) модуль, всегда будем подразумевать левый модуль с мультипликативно записываемым внешним законом.
Если кольцо А коммутативно, понятия правого и левого модулей относительно А совпадают.
Отображения х— ах модуля E в себя называются его гомотетиями (гл. I, § 6, п° 9); в силу (M1) они являются эндоморфизмами структуры коммутативной группы E (без операторов), но, вообще, не эндоморфизмами структуры модуля E (гл. I, § 6, и0 12). Для
S
МОДУЛИ
183
каждого а ? А имеем а0 = 0; в силу (M11) также Oz = O для каждого х?Е; из этих двух тождеств вытекает, что а (- - х) = ( — а) х — = — {ах), каковы бы ни были а ?А и х?Е.