Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 70

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 201 >> Следующая


В начале XVI века алгебра познает новый подъем, вызванный открытием математиками итальянской школы решения уравнения третьей, а затем и четвертой степени «в радикалах» (о чем подробнее будет сказано в Историческом очерке к главе V); в связи с этим опи были, так сказать, вынуждены, несмотря на всё отвращение, ввести в свои вычисления мнимые числа; впрочем, мало-помалу возникает доверие к вычислениям с этими «невозможными» числами, как и к вычислениям с отрицательными, хотя в течение более чем двух веков не было придумано для них никакого «представления».

С другой стороны, Вьета и Декарт вносят в алгебраическую символику решающие усовершенствования; начиная с Декарта, алгебраическое правописание, с точностью до незначительных деталей, приобретает уже современный нам вид.

С середины XVII и до конца XVIII века обширные горизонты, открытые созданием исчисления бесконечно малых, по-видимому, несколько отодвигают на задний план алгебру вообще и особенно математическое исследование законов композиции или природы вещественных и комплексных чисел *). Так, например, сложение сил и сложение скоростей, хорошо известные в механике с конца XVII века, не нашли в алгебре никакого отражения, хотя и содержали уже в зародыше векторное исчисление. В самом деле, пришлось ждать идейного движения, приведшего примерно в 1800 г. к геометрическому представлению комплексных чисел (см. Исторический очерк к главе VIII Книги III), чтобы в чистой математике появилось сложепие векторов **).

К этому же времени понятие закона композиции, впервые в алгебре, распространяется, в двух различных направлениях, на элемепты, имеющие уже с «числами» (в наиболее широком смысле, придававшемся к тому времени

*) Следует оставить в стороне попытки Лейбница, с одной стороны, придать алгебраическую форму умозаключениям формальной логики, с другой — создать «геометрическое исчисление», оперирующее прямо с геометрическими элементами, без посредства координат ((IV), т. V, стр. 141). Эти попытки остались в стадии набросков и не вызвали никакого отклика у современников; к ним вернулись лишь в XIX веке (см. ниже).

**) Причем зта операция была введена без всякого отношения к механике; связь между обеими теориями была явно осознана лишь основателями векторного исчисления во второй трети XIX века.
174

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

ГЛ. I

этому слову) лишь отдаленную аналогию. Первое из этих распространений принадлежит К. Ф. Гауссу и связано с его арифметическими исследованиями, посвященными квадратичным формам ах2 -|- Ьху + су2 с целыми коэффициентами. Лагранж определил в множестве всех форм с одинаковым дискриминантом отношение эквивалентности *) и, с другой стороны, доказал тождество, дающее в этом множестве некоторый (не всюду определенный) коммутативный закон композиции; отправляясь от этих результатов Гаусс показывает, что этот закон согласуется (в смысле § 4) с упомянутым отношением эквивалентности ((V), т. I, стр. 272): «Отсюда видно, — говорит он затем,— что следует понимать под композицией двух или нескольких классов». Он приступает затем к изучению полученного им так «факторзакопа» и устанавливает по существу, что это (на нынешнем языке) — закон коммутативной группы, притом с помощью рассуждений, общность которых чаще всего выходит далеко за пределы исследуемого Гауссом специального случая (например, рассуждение, которым он доказывает единственность элемента, симметричного данному, совпадает с примененным нами при доказательстве предложения 3 § 2 для произвольного закона композиции (там же, стр.273)). Ho он не останавливается на этом: возвращаясь немного позже к тому же вопросу, он отмечает аналогию между композицией классов и умножением целых чисел по простому модулю **) (тамже, стр. 371), устанавливая, однако, при этом, что группа классов квадратичных форм с заданным дискриминантом не всегда циклическая; замечания, которые он делает по этому поводу, дают основание полагать, что ему было известно, по крайней мере на этом частном случае, общее строение конечных коммутативных групп, которое мы изучим в главе VII ((V), т. I, стр. 374 и т. II, стр. 266).

Другая серия исследований, о которой мы хотим сказать, также подводит к понятию группы, которое этим путем и входит окончательно в математику: это — «теория подстановок», развившаяся из идей Лагранжа, Ван-дермонда и Гаусса относительно решения алгебраических уравнений. Мы не

*) Две формы эквивалентны, если одна из них получается из другой путем «замены переменных» х' — ах - г Py, у'= YaH' где а, (5, у, 6•— целые такие, что аб— Py = 1-

**) Весьма замечательно, что Гаусс пользуется для композиции классов квадратичных форм аддитивным обозначением, несмотря на аналогию, отмеченную им самим, а также на то, что тождеством Лагранжа, определяющим композицию двух форм, гораздо естественнее подсказывается мультипликативное обозначение (к которому, кстати, и вернулись все продолжатели Гаусса). В этом безразличии к выбору обозначения следует видеть лишнее свидетельство общности, несомненно достигнутой в понимании Гауссом законов композиции. При этом в своих рассмотрениях он не ограничивался коммутативными законами, как это показывает относящийся к 1819—1820 гг., по не опубликованный при жизни Гаусса отрывок, где более чем за двадцать лет до Гамильтона даются формулы умножения кватернионов ((V), т. VIII, стр. 357). і
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed