Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Пу-сть E — модуль. Каждое отношение эквивалентности, согласующееся (гл. I, § 4, п° 3) со структурой модуля Е, имеет вид х — у^М, где M — устойчивая подгруппа группы с операторами E (гл. I, § 6, п° 11), т. е. подмодуль модуля Е. При этом, как непосредственно проверяется (см. гл. I, § 5), структура группы с операторами EIM (гл. I, § 6, п° И) есть структура модуля; наделенное этой структурой, ElM называется фактор модулем модуля E по подмодулю М.
Каждый фактормодуль EIM унитарного ^-модуля E унитарен, ибо единица є кольца А, оставляя инвариантным каждый элемент из Е, тем более оставляет инвариантным каждый класс по модулю М. В частности, каждый фактормодуль векторного пространства E есть векторное пространство; оно называется векторным факторпространством (или просто факторпрострап-ством) векторного пространства Е.
Пример. Каждый левый идеал « кольца А определяет фактор-модуль AsIa А-модуля As; этот фактормодуль часто для краткости ^ обозначают А /а; но когда а — двусторонний идеал, не следует сме-
шивать структуру факторколъца в АІй (гл. I, § 8, п° 5) с его структурой левого модуля относительно кольца А.
¦186
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, I 1
4. 'Произведение модулей. Прямая сумма конечного семейства подмодулей. Дополнительные подмодули
Пусть (EL)l?I — семейство модулей над одним и тем же кольцом А. Как легко видеть, произведение структур модулей, заданных в множествах E1 (гл. I, § 4, п° 5), есть структура Л-модуля
в множестве E = WEi,. Наделенное этой структурой, E назы-ifc/
вается произведением модулей E1; таким образом, если х= (ать), У~ІУі) — элементы этого модуля, то х +у = (Xl^yl) шах = — (ахі) для каждого элемента а ?А.
Все свойства произведений групп с операторами, установленные в § 6 главы I, относятся и к произведениям модулей. В частности, если M1 для каждого I ?/-подмодуль модуля El, то множество M = WMlClE есть подмодуль модуля Е, изоморфный їй
произведению модулей M1. Если Ml = El для каждого индекса из некоторого JdI и AI1 = {0} для всех индексов і ? CJ, то подмодуль E'j=Y\Ml МОДУЛЯ E изоморфен произведению Ej = X\El I?1 ' l?J
модулей E1 с i?j. В случае,когда / сводится к одному индексу к, подмодуль Ej обозначается также Е'к и называется компонентой с индексом H (или х-й компонентой) модуля Е\ он изоморфен модулю Ek и чаще всего отождествляется с ним.
Если все модули El унитарны, то унитарно и их произведение. В частности, произведение семейства векторных пространств над одним и тем же тело.м К есть векторное пространство над К.
Важным примером произведения модулей является произведение, все сомножители Et которого совпадают с модулем это произведение обозначается A1s или просто А1, если можно не опасаться смешения; его элементами являются всевозможные отображения IeA.
Произведение E конечного семейства (/i^i^i^n модулей есть прямая сумма (гл. I, § 6, п° 6) подмодулей-компонент Е\ (1 < ?'<«); обратно, если модуль E есть прямая сумма конечного семейства (Mi)I^ign своих подмодулей, то отображение, относящее элементу
П
(хі)і^г^п из J] Mi сумму ^ хг' есть (называемый каноническим)
г=1
изоморфизм [] Mi на E (гл. J, § 6, предложение 6).
«5
МОДУЛИ
187
Определение 4. Подмодули M1, M2 модуля E называются дополнительными, а каждый из них — дополнением другого, если E есть прямая сумма M1 и M2.
Для того чтобы M1 и M2 были дополнительными, необходимо и достаточно, чтобы E = M1-^rM2 и = W (гл- 1> §6»
предложение 7).
к В произвольном модуле E не всякий подмодуль обладает дополне-
нием (см. упражнения 11 н 26).
Предложение 1. Если M1 и M2 — дополнительные подмодули модуля Е, то отображение, относящее каждому X^Mi его класс (mod M1), есть изоморфизм M2 на EIM1.
Действительно, это отображение, будучи сужением на Mi канонического отображения E на ElM1, есть представление M2 в EjM1, оно отображает M2 на EIM1, поскольку каждый элемент из E сравним (mod M1) с некоторым элементом из Mi; наконец, оно взаимно однозначно, поскольку МХ[\М2 = {0}.
Изоморфизм г определенный в предложении 1, и обратный ому изоморфизм называются каноническими.
Следствие. Если M2 и M3 — подмодули, дополнительные к одному и тому же подмодулю M1, то отношение х„ ; xa (mod M1) между элементами X2 ? M2 и х3 ? M3 устанавливает взаимно однозначное соответствие между M2 и M3.
Это соответствие и два составляющих его взаимно обратных изоморфизма называются каноническими.
Замечания. 1) При (каноническом) отождествлении E с с MtXMi изоморфизм, определяемый в предложении 1, превращается в канонический изоморфизм Af2 на (MiXM2)IM, (гл. I, § 6, п°5). По этой причине канонический изоморфизм M3 на M2 называют также проектированием M3 на M2 параллельно M1 (при указанном отождествлении это действительно сужение на M3 проектирования E на M2).
2) Определение 4, предложение 1 и его следствие справедливы для любых коммутативных групп с операторами.
5. Линейные комбинации
Пусть / — произвольное множество индексов И (*!,)(,? / — семейство элементов Л-модуля (или, более общим образом, коммутативной группы с операторами) E такое, что множество J
