Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 67

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 201 >> Следующая


Действительно, заметим прежде всего, что из отношения X > 0, в силу а), индукцией по р выводится, что рх > 0 для каждого целого р > 0; отсюда следует, что если га —целое > 0,

1 - 1

то — > 0: в противном случае, в силу б), мы имели оы — < 0,

значит, — ~ >0 и п-(^ —^ = —1 >0, что абсурдно. Поэтому

заключаем, что если р и q — целые числа > 0, то рациональное р I ^

число ~ = Р'“ > так как каждое рациональное число может

быть записано в виде у, где р? Z, q? N*, то мы видим, что множество Q4. всех рациональных чисел > 0 совпадает с множеством всех чисел вида, где р? Nj q?N*. В силу а), отношение х*Су должно быть эквивалентно отношению у-— х >0; если существует отношение порядка в Q, удовлетворяющее поставленным требованиям, то оно необходимо эквивалентно отношению у — z?Qt. Обратно, легко видеть, что это отношение действительно есть отношение порядка в Qj удовлетворяющее условиям а) и б) и индуцирующее в Z первоначально определенное отношение порядка.

Говоря о Q как об упорядоченном множестве, мы всюду, где не оговорено противное, будем иметь в виду определенное •здесь отношение порядка.

Рациональные числа >0 (соответственно <0, >0, < 0)

называются положительными (соответственно отрицательными, строго положительными, строго отрицательными) *).

*) И здесь мы отклоняемся от обычной терминологии, по которой положительное означает >0 (см. J 2. сноску в п° 5 .
л

TEJIA

167

В силу определения отношения ?>0 в Q1 отношения ?>0, г/> 0 влекут ху> 0; точно так же ?>0 иг/<0 влекут ху< 0, ?<0 и г/< 0 влекут а:г/>0 (правила знаков). Отсюда, в частности, следует, что множество всех рациональных чисел >0, обозначаемое Q*, является подгруппой мультипликативной группы Q* всех рациональных чисел Ф 0; так как каждое рациональное число х Ф 0 представимо, и притом единственным образом, в одной из форм ( + 1)г/, (— 1)г/, где у > 0, то мы видим, что мультипликативная группа Q* является прямым произведением подгрупп Q* и { — 1, +1}; компонента у числа ? в Q* называется абсолютным значением х и обозначается \ х\ (см. главу V); компонента х в { —1, +1} (равная +1, если х > 0, и —1, если х < 0) называется знаком х и обозначается Sgn х.

Обычно эти две функции продолжают на всё Q, полагая [ 0 | = 0 и SgnO = O.

Упражнения. 1) Какие из кольцевых структур, определенных в упражнении 1 § 8, являются структурами тела?

2) Конечное кольцо без делителей нуля есть тело. [§ 2, упражнение 6.]

*3) Пусть А — кольцо с операторами, имеющее своими единственными левыми идеалами (0) а А. Показать, что либо А есть кольцо с нулевым квадратом (§ 8, п.° 1), а его аддитивная группа с операторами — простая, либо А есть тело.

Отбросив первую из этих возможностей, показать последовательно, что: а) существует а ? А, для которого Aa ф (0); б) существует е?А, для которого еа = а и е2=«; в) е — единица кольца А. [Рассмотреть множество всех элементов х— хе, а затем множество всех элементов X — ех, где X пробегает А.]

4) Поле Q рациональных чисел не обладает никаким подполем, отличным от Q.

*5) Пусть А' — поле характеристики ф 2 и G — подгруппа «го аддитивной группы такая, что множество Н, составленное из 0 и элементов, обратных всевозможным ненулевым элементам из С, также есть подгруппа аддитивной группы К. Показать, что существуют элемент a Z К и подполе К' поля К такие, что G = aK'. [Установить сначала, что если х, у принадлежат G и у ф 0,

X^

то — ? С; вывести отсюда, что если я, у, z принадлежат G и z ф 0. то xJLzg.]

Z
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

ГЛ. I, § 9

6) Пусть К — поле характеристики ф2 и /—отображение К

в К такое, что / (х-\-y) = f (я)~г/ (у) для любых ж и у и / (х) f = I

для любого х Ф 0. Показать, что / или —/ есть изоморфизм К на его подполе. [Доказать, что / (х2) = (/ (а;))2.]

*7) Пусть А—коммутативное кольцо с единицей и А—его кольцо отношений. Для каждого множества S CT А, устойчиеого относительно умпожения и состоящего из регулярных элементов, обозначим через As подкольцо кольца А, образованное элемен-

X

тами — , где х пробегает A, a s пробегает S.

S

а) Идеал кольца As, порожденный идеалом а кольца А, совпадает

X

с множеством aAs всех элементов — , где а; пробегает а, а «пробегает*?.

Каковы бы ни были идеалы а и 6 кольца A, (a-[-b),4s=0/4s+6/ls и (aDbMs = Ms)H(Ms).

б) Если с — идеал кольца As, то (с"]А)As = с.

в) Если a—идеал кольца А, то ас (аЛд)Г)Л; идеал (CiAs)rIA

есть множество тех элементов х g А, для каждого из которых существует SglS1 такое, что Sx 6 а.

г) Пусть а — идеал кольца А и <р—канопическое отображение А

на А/a; для того чтобы элементы множества <p (S) были регулярны в А/а, необходимо и достаточно, чтобы (aAs)f]A = о; факторкольцо As/(aAs) изоморфно тогда (Afa)cp (Sy

д) Для того чтобы дополнение S к идеалу р кольца А было устойчиво относительно умножения, необходимо И достаточно, чтобы 1) был простым (§ 8, упражнение 13); если А — кольцо целостности, то

s/(Ms) есть поле, изоморфное полю отношений факторкольца А/р.

Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed