Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
В последующих главах (главы II, III и VIII) мы вернемся также к истории развития линейной алгебры и гиперкомплексных систем, которое в кон-
*) Основные теории, развитые в течение этого периода, замечательно изложены в относящемся к нему труде Ганкеля (XI), где абстрактное понятие закона композиции осмыслено и изложено с совершенной отчетливостью.
**) Мы сознательно оставляем здесь в стороне всё относящееся в этот период к эволюции алгебраической геометрии и тесно связанной с ней теории инвариантов; эти две теории развивались на базе своих собственных методов, ориентированных на анализ не в меньшей мере, чемна алгебру, и лишь в недавнее время нашли свое место в обширном здании современной алгебры.
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
177
це XIX и начале XX веков идет, без введения новых алгебраических понятий, по пути, проложенному Гамильтоном и К эли, в Англии (Сильвестр, В. Клиффорд) и Америке (Б. и К. Пирс, Диксон, Веддербэрн) и совсем независимо от англосаксов, на базе довольно отличающихся методов, в Германии (Вейерштрасс, Дедекинд, Фробениус, Молин*)) и Франции (Лагерр, Э. Картан).
Что касается теории групп, то вначале она развивалась главным образом в виде теории конечных групп подстановок, вслед за публикацией сочинений Галуа и распространением его идей трудами Ceppe (XII) и, особенно, большим «Трактатом о подстановках» К. Жордана (XV). Этот последний подытожил, в значительно усовершенствованном виде, работы своих предшественников по специальным свойствам групп подстановок (транзитивности, примитивности и т. д.) и получил результаты, в большинстве своем не превзойденные в дальнейшем; вместе с тем он подверг углубленному исследованйю весьма важные специальные группы — линейные группы и их подгруппы (см. главы II и IX), причем именно им было введено фундаментальное понятие представления одной группы на другую, а также (несколько позже) понятие факторгруппы, и оп доказал часть теоремы, известной под названием «теоремы Жордана — Гёльдера» **). Наконец, к Жордану восходит и первое исследование бесконечных групп (XVI), которое несколькими годами позже было значительно развито в двух различных направлениях, с одной стороны, С. Ли, а с другой — Ф. Клейном и А. Пуанкаре.
Тем временем Кэли ((X), т. II, стр. 123 и 131) дал в 1854 г. определение «абстрактных» групп и, одновременно, однородных пространств, правда, в форме, корректной лишь для конечных групп. Однако даже исследования по конечным абстрактным группам в течение долгого времени воспринимались как относящиеся к группам подстановок, и лишь к 1880 г. началось сознательное развитие автономной теории конечных групп. Мы не будем прослеживать дальнейшего развития этой теории, затрагиваемой в этом трактате лишь весьма поверхностно; читателя, желающего углубиться в рассматриваемые ею вопросы н поставленные в ней многочисленные трудные задачи, мы отошлем к современным монографиям Бэрнсайда (XVII), Шпайзера (XVIII) и Цасенхауза (XIX).
Здесь нет уже места говорить о чрезвычайном успехе, который с конца XIX века приобрела идея группы (а также тесно связанная с ней идея инварианта) в анализе, геометрии, механике и теоретической физике. Аналогичным вторжением этого понятия и родственных ему алгебраических попятий (групп с операторами, колец, идеалов, модулей) в те разделы алгебры, которые до того казались довольно далекими от естественной области его приме-
*) Ф. Э. Молин жил и работал в России и СССР.— Tlepee.
**) Жордан установил лишь инвариантность (с точностью до расположения) порядков факторгрупп «ряда Жордана — Гёльдера» конечной группы; независимость же (с точностью до расположения) самих факторгрупп от рассматриваемого ряда показал О. Гёльдер.
12 н. Бурбпки
178
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
ГЛ. I
нимости, как раз и отмечен последний период излагаемой здесь эволюции, приведший к синтезу прослеженных выше трех тенденций. Это объединение есть главным образом дело новой немецкой школы: начатая Дедекиндом и Гильбертом в последние годы XIX века работа по аксиоматизации алгебры была мощно продолжена Э. Штейницем и далее, с 1920 г., под влиянием Э. Артина,— Э. Нетер и алгебраистами ее школы (Хассе, Круль, О. Шрейер. Ван-дер-Варден). Книга Ван-дер-Вардена (XX), опубликованная в 1930 г., впервые объединила эти работы в обобщающем изложении, открыв путь и сделавшись путеводителем для многих исследований по абстрактной алгебре в эти последние годы.
БИБЛИОГРАФИЯ
(I) О. N е u g е b a u е г, Vorlesungen iiber Gescliichte der antiken Mathematik1 т. I: Vorgriechische Mathematik, Berlin (Springer), 1934. [О. Нейгебауер, Лекции по истории античных математических наук, т. I: Догреческая математика, М.— Л., ОНТИ, 1937.]
(II) Euclidis Elementa, 5 тт., изд. J. L. Heiberg, Lipsiae (Teubner), 1883—1888. [Начала Евклида, 3 тт., Гостехиздат, М.— Л., 1948—50.}
(II bis) Т. L. Heath, The thirteen books of Euclid’s Elements..., 3 тт., Cambridge, 1908.
(III) Diophanti Alexandrini Opera Omnia..., 2 тт., изд. P. Tannery, Lip-siae (Teubner), 1893—1895.
(IIIbis) Diopliante d’Alexandrie, перев. P. Ver Eecke, Bruges (Desclee-de Brouwer), 1926.
