Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
*8) Пусть А — некоммутативное кольцо без делителей нуля. Говорят, что А допускает тело левых отношений, если оно изоморфно подкольцу А' некоторого тела К такому, что каждый элемент из К имеет вид а:-1;/, где х ?А', у?А'.
а) Пусть А* — множество всех ненулевых элементов кольца А. Для того чтобы А допускало тело левых отношений, необходимо, чтобы было выполнено следующее условие: (G) каковы бы ни были х g А, х' ? А*, существуют и ? А* и v ? А такие, что ux=vx'.
б) Обратно, предположим, что условие (G) выполнено. Показать, что отношение R между элементами (х, х) и (у, у') произведения А X А*: «для каждой пары (и, v) ненулевых элементов таких, что их' — vy', выполняется равенство их= vy'> — есть отношение эквивалентности.
Пусть (х, х') и (у, у')—элементы произведения AXA*, g И Т| соответственно — их классы modi?. Показать, что для каждой пары (и, и') ^AXA* такой, что и'х = иу', класс modi? пары (иу, и'х') зависит лишь от ? и т|; обозначая его |т|, получим закон композиции в множестве K=(AXA*)/R. Пусть К* — множество всех элементов
ТЕЛА
169
из К, отличных от класса 0 элемептов (0, х') ?ЛХЛ*. Наделенное законом, индуцированным введенным законом композиции, К* есть группа.
Для всякого X ? А элементы (х'х, х'), где х' пробегает А*, образуют класс modi?. Отнесение этого класса элементу х определяет изоморфизм А (относительно одного лишь умножения) на некоторое подкольцо в К. При отождествлении А с его образом при этом изоморфизме класс mod Л пары (х, х') ?АХА* отождествляется с элементом х'~гх.
Если теперь \ = х'~хх—элемент из Ii и 1 —- единичный элемент группы К*, то обозначим через | + 1 элемент ж'-1 (х^-х'), не зависящий от представления g в виде х'_1х. Положим, далее, ? + 0=? и ?-|~г) = г] (їГЧ + і) ПРИ 11 Ф 0- Показать, что введенные так на К сложение и умножение определяют в этом множестве структуру тела, являющуюся продолжением структуры кольца А; иными словами, условие (G) также достаточно для того, чтобы А допускало тело левых отношений.
9) Пусть А — кольцо без делителей нуля. Для того чтобы А допускало тело левых отношений (упражнение 8), необходимо и достаточно, чтобы пересечение двух левых идеалов кольца А, отличных от {0}, никогда не сводилось к 0.
ИСТОРИЧЕСКИМ ОЧЕРК
К ГЛАВЕ I
(Римские цифры относятся к библиографии, помещенной в конце настоящего очерка.)
В математике мало понятий, которые были бы первичней понятия закона композиции; оно представляется неотделимым уже от самых зачаточных вычислений с натуральными числами и измеряемыми величинами. Наиболее древние из дошедших до нас документов, относящихся к математике египтян и вавилонян, обнаруживают уже владение полной системой правил вычислений с целыми числами > 0, рациональными числами > О, длинами и площадями; хотя в дошедших до нас текстах рассматриваются лишь задачи с определенными числовыми данными *), эти тексты не оставляют никаких сомнений в общности, приписывавшейся употребляемым правилам, и обнаруживают прямо-таки замечательное техническое мастерство в обращении с уравнениями первой и второй степени ((I), стр. 179 и след.). Ho при всем этом там нет и следа заботы ни об обосновании применяемых правил, ни о точном определении входящих в них операций: и те и другие сохраняют чисто эмпирический характер.
Напротив, подобная забота уже весьма определенно проявляется у греков классической эпохи; правда, у них еще нет аксиоматической трактовки теории натуральных чисел (такая аксиоматизация появилась лишь в конце XIX века; см. Исторический очерк к главе IV Книги I); но во многих местах «Начал» Евклида даются формальные доказательства правил действий, столь же интуитивно «очевидных», как правила действий над целыми числами
*) He следует забывать, что обозначение всех (известных и неизвестных) элементов алгебраической задачи буквами ввел в употребление лишь Вьета (XVI век). До этого в алгебраических руководствах рассматривались лишь уравнения с числовыми коэффициентами; высказывая общее правило обращения с аналогичными уравнениями, автор формулировал его (и это было лучшее, что он мог сделать) словесно; при отсутствии явной формулировки этого рода обладание таким правилом с большей или меиыпей вероятностью обнаруживалось самим ходом выкладок в рассматриваемых числовых примерах.
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
171
(например, коммутативности произведения двух рациональных чисел). Наиболее замечательны доказательства этого рода, относящиеся к теории величин, являющейся самым оригинальным творением греческой математики (и, как известно, эквивалентной нашей теории вещественных чисел > 0; см. Исторический очерк к главе IV Книги III): рассматривая, среди прочего, произведение двух отношений величин, Евклид доказывает, что оно не зависит от формы, в которой представлены эти отношения (первый пример «факторизации» закона композиции по отношению эквивалентности в смысле § 4), н что оно коммутативно ((II), Книга V, предложения 22—23) *).
Однако не следует скрывать, что этот прогресс в строгости сопровождается у Евклида застоем, а в некоторых отношениях даже попятным движением в том, что касается техники алгебраических вычислений. Подавляющий перевес геометрии (для целей которой явно задумана и теория величин) парализует всякое самостоятельное развитие алгебраической символики: элементы, входящие в вычисления, должны быть все время «представлены» геометрически; при этом участвующие в вычислениях законы композиции не определены на одном и том же множестве (сложение отношений в общем виде не определено, произведение же двух длин есть не длина, а площадь); проистекающая отсюда недостаточная гибкость делает оперирование с алгебраическими соотношениями выше второй степени почти невыполнимым.
