Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Если в множестве E задана структура модуля относительно кольца А и В — любое подкольцо этого кольца, то заданный на E коммутативный групповой закон и сужение внешнего закона на В (гл. I, § 3) определяют в E структуру модуля относительно В.
Пр и м е р ы. 1) Кольцо есть одновременно левый и правый модуль относительно самого себя, а значит, также относительно любого своего подкольца. Рассматривая кольцо А как левый (соответственно правый) Л-модуль, мы будем, во избежание всякой путаницы, обозначать его As (соответственно Ad).
2) Структура группы с операторами, определяемая в (аддитивно обозначаемой) коммутативной группе G внешним законом (п, х) - > пх (гл. I, § 6, л0 9), есть структура модуля относительно кольца Z рациональных целых чисел.
3) Пусть G — аддитивно обозначаемая коммутативная группа и <g — ее кольцо эндоморфизмов (гл I, § 8, H0 1; напомним, что произведением fg эндоморфизмов fug служит, по определению эндоморфизм fog)-, внешний закон композиции (/, х) -<¦ j (х) операторов /? S и элементов X Z G определяет в G структуру левого модуля относительно кольца g.
4) Пусть G, как всегда, — аддитивная группа и А -- любое кольцо. Положив ах = 0 для каждого a g А и каждого х ? G, мы определим в G структуру левого Л-модуля.
Унитарные модули. Векторные пространства
Определение 2. А-модулъ E называется унитарным, если
кольцо А обладает единицей г, являющейся одновременно нейтральным оператором внешнего закона (иными словами, если
zx = x для каждого х?Е).
В унитарном модуле E для каждого целого и ? Z и каждого х?Е имеем пх = (пе) х. Если а — обратимый элемент кольца А, то гомотетия х—>ах есть автоморфизм структуры коммутативной группы E (без операторов), ибо у = ах влечет х = а~1 (ах) = аГ1у.
Встречающиеся в алгебре модули в большинстве своем унитарны. Если кольцо А обладает единицей, то /1-модули Ал и А / унитарны: модули, определенные в примерах 2 и 3 п° 1, унитарны.
184
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. XI, § •
Наиболее важны унитарные модули, кольцом операторов которых служит тело:
Определение 3. Левым (соответственно правым) векторным пространством над телом К называют унитарный левый (соответственно правый) К-модулъ.
Элементы векторного пространства часто называют векторами; элементы тела операторов именуются тогда скалярами. Допуская вольность речи, эту терминологию переносят иногда на произвольные модули.
Примеры. 1) Тело есть одновременно левое и правое векторное пространство относительно любого своего подтела.
°2) Трехмерное числовое пространство R3 классической аналитической геометрии есть векторное пространство относительно поля R вещественных чисел, если за произведение Ix числа t и точки х с координатами хи х2, X3 принята точка с координатами txit tx2, Ix3.
Точно так же множество всех числовых функций, определенных на произвольном фиксированном множестве F, есть векторное пространство относительно R, если за произведение If вещественного числа t и такой функции / принята числовая функция х -* tf(x).0
Согласно предыдущему, в векторном пространстве E над телом К каждая гомотетия х—±ах, соответствующая элементу а Ф 0 из К, есть автоморфизм структуры коммутативной группы (без операторов) Е.
3. Подмодули и фактормодули
Пусть E — модуль; если M — его устойчивая подгруппа (гл. I, § 6, п° 10), то, очевидно, структура, индуцированная в M гл. I, § 4, п° 2) структурой модуля Е, является структурой модуля; множество М, наделенное этой структурой, называется подмодулем модуля Е. Тем самым подмодули обладают всеми свойствами устойчивых подгрупп. В частности, сумма M N и пересечение M[)N любых двух подмодулей M н N модуля E снова являются его подмодулями.
Если E — унитарный модуль, то и все его подмодули унитарны. В частности, каждый подмодуль векторного пространства E есть векторное пространство; его называют векторным подпространством (или просто подпространством, если нет опасности смешения) векторного пространства Е.
¦МОДУЛИ
185
Примеры. 1) Множество, сводящееся к 0, является подмодулем любого модуля E (нулевой подмодуль).
2) Пусть А —кольцо. Подмодули модуля As (соответственно Ali)-это не что иное, как левые (соответственно правые) идеалы кольца А.
3)лПусть E—А -модуль, х ^ E и а — левый идеал кольца А. Множество всех элементов ах, где а пробегает а, образует в E подмодуль, обозначаемый ах.
4) Каждая подгруппа аддитивной группы G, рассматриваемой как модуль относительно Z (с законом (п, х) -* пх), образует в G подмодуль.
°5) Пусть I — открытый интервал числовой прямой R; множество С всех числовых функций, определенных и непрерывных на I, есть подпространство векторного пространства всех числовых функций на /. Аналогично множество D всех дифференцируемых функций-на / есть подпространство пространства С.0
Замечание. Пусть E — Л-модуль и В — подкольцо кольца Л.
> Каждый подмодуль >4-модуля E есть также подмодуль 5-модуля Е,
но обратное неверно: например, если А — тело и В — его подтело, та подпространство Bs векторного пространства As (относительно тела В) при B=j=A не будет векторным пространством относительно тела А.