Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Лишь на закате классической греческой математики мы видим Диофанта, который возвращается к традиции «логистов», т. е. профессиональных вычислителей, продолжавших применять в прежнем виде правила, унаследованные от египтян и вавилонян: не стесненный более геометрическим представлением рассматриваемых им «чисел», он естественно приходит к разработке правил абстрактных алгебраических действий; так, например, он дает правила, которые (на современном языке) равносильны формуле xm*n=xwxn для небольших (положительных или отрицательных) значений тип ((III), т. I, стр. 8—13); несколько дальше формулируется «правило знаков»—первый зародыш действий над отрицательными числами **); наконец, Диофант впервые употребляет буквенный символ для представления неизвестной уравнения. Ho, в противовес этому, он отнюдь не кажется озабоченным увязкой методов, применяемых им для решепия его задач, с какими-либо общими идеями; аксиоматический же подход к законам композиции, подобный наметившемуся у Евклида, по-видимому, был чужд мышлению Диофанта, равно как и его непосредственных продолжателей; он вновь появляется в алгебре лишь в начале XIX века.
*) Правда, Евклид не дает в этом месте формального определения произведения двух отношений, а определение, находящееся в «Началах» несколько дальше (Книга VI, определение 5), считается позднейшей вставкой; тем не менее, он, конечно, имел совершенно ясное представление об этой операции и ее свойствах.
**) Диофант не знает отрицательных чисел; поэтому указанное правило можно истолковывать лишь как относящееся к действиям над многочленами и позволяющее «раскрывать» произведения, подобные (а — 6) (с — d).
172
ИСТОРИЧЕСКИЙ очерк
ГЛ. I
Потребовалось сначала, чтобы в течение промежуточных столетий, с одной стороны, развилась система алгебраических обозначений, пригодная для адекватного выражения абстрактных законов, а с другой — понятие «числа» настолько расширилось, чтобы наблюдение достаточно разнообразных частных случаев позволяло подыматься до общих понятий. Для этих целен созданная греками аксиоматическая теория отношения величин была недостаточной, ибо она лишь уточняла интуитивное понятие вещественного числа >0 и те операции над этими числами, которые в более смутной форме были известны еще вавилонянам; теперь же, напротив, дело касалось «чисел», о которых греки не имели представления и которые вначале не вызывали никаких наглядных «представлений»: с одной стороны, нуля и отрицательных чисел, появившихся в индийской математике в раннее средневековье, с другой стороны, мнимых чисел, этого творения итальянских алгебраистов XVI века.
Если оставить в стороне нз^ль, который первоначально появился как нумерационный символ и лишь потом стал рассматриваться как число (см. Исторический очерк к главе III Книги ]), общим у всех этих расширений понятия числа был (по крайней мере вначале) их чисто «формальный» характер. Под этим следует понимать, что новые «числа» появлялись первоначально как результаты операций, примененных в условиях, где эти операции не имеют, если придерживаться их точного определения, никакого смысла (например, разность а— Ь двух натуральных чисел, когда л < Ь); отсюда и присваивавшиеся им наименования чисел «ложных», «фиктивных», «абсурдных», «невозможных», «мнимых» и т. д. Грекам классической эпохи, увлечепным прежде всего ясностью мысли, подобные расширения были недоступны; они могли возникнуть только у вычислителей, в противоположность грекам более склонных к несколько мистической вере в мощь своих методов («общность анализа», как скажут в XVIII веке) и позволявших увлечь себя механизму вычислений, не проверяя обоснованности каждого его шага; впрочем, эта вера чаще всего оправдывалась апостериори точными результатами, к которым приводило распространение на эти новые математические создания вычислительных правил, строго говоря, применимых лишь к ранее известным числам. Вот почему эти обобщения понятия числа, вначале встречавшиеся лишь в виде промежуточных звеньев цепи операций, исходным пунктом которой и окончательным результатом были настоящие «числа», понемногу стали все смелее рассматривать сами по себе (независимо ни от каких применений к конкретным вычислениям); а отважившись однажды на этот шаг, начали искать более или менее осязаемые истолкования новых созданий, приобретших таким путем право гражданства в математике *).
*) Впрочем, эти изыскания составили лишь переходный этап в эволюции рассматриваемых понятий; с середины XIX века вновь вернулись, на этот раз вполне сознательно, к формальной концепции различных расширений понятия числа, и она завершилась включением в «формалистскую» и аксиоматическую точку зрения, господствующую в современной математике.
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
173
В этом отношении уже индийцам было известно истолкование, которое в некоторых случаях следует давать отрицательным числам (например, как долга в задачах коммерческого характера). В последующие века, по мере проникновения на Запад (через посредство арабов) методов и результатов греческой и индийской математики, все больше осваиваются с оперированием этими числами и начинают находить другие их «представления», геометрического или кинематического характера. Вот, собственно, вместе с прогрессировавшим улучшением алгебраической символики, и все заметные успехи алгебры в конце средних веков.
