Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Кольцо, противоположное телу, очевидно, снова есть тело. Тело называют коммутативным, если его умножение коммутативно; такое тело совпадает с противоположным ему. Некоммутативные тела иногда называют косыми. Коммутативные тела будут называться полями.
2
ТЕЛА
161
Примеры п о л е й *). °1) Наиболее важными для математики полями являются поле рациональных чисел, которое будет определено
в D0 5, поле вещественных чисел и поле комплексных чисел, которые мы определим в «Общей топологии» (Общ. топ., главы IV и VIII).0
2) В множестве E, состоящем яз двух элементов, можно определить структуру тела, и притом (с точностью до перестановки) только одну. Действительно, один элемент из E должен быть нейтральным элементом 0 аддитивной группы, а другой—нейтральным элементом е мультипликативной группы. Аддитивная группа вполне определяется заданием е+е, которым может быть лишь 0; мультипликативная группа сводится к е; наконец, должны иметь место равенства е O=O^e=O. Легко видеть, что всем этим действительно определяется в E структура (коммутативного) тела.
2. Подтела
Пусть В — множество элементов кольца А, не сводящееся к 0; для того чтобы В, наделенное индуцированной из А структурой, было телом, нужно прежде всего, чтобы В было надкольцом кольца А; кроме того, это подкольцо должно обладать единицей е (не обязательно являющейся единицей кольца А) и каждый элемент х Ф 0 из В должен быть обратимым в В. Обратно, если эти условия выполнены, В есть тело; действительно, тогда множество В* его ненулевых элементов устойчиво относительно умножения (§2, следствие 2 предложения 5) и предложение 1 § 6 показывает, что оно является группой.
Если А — тело, то условия, которым должно удовлетворять множество BdA, чтобы быть телом, упрощаются следующим образом: необходимо и достаточно, чтобы В было подкольцом в А, не сводящимся к 0 и содержащим элементы, обратные (в А) ко всевозможным своим ненулевым элементам (действительно, множество В*, будучи подгруппой группы А*, должно содержать единицу тела А).
Более общим образом, если подкольцо В тела А не сводится к 0 и обладает единичным элементом и, то и равно единице е тела А, ибо из и2=и и иф 0 следует и=и-и-1=е.
Подкольцо В тела К, являющееся телом, называют подтелом тела К, & К часто называется надтелом или расширением своего подтела В.
*) В главах II и VIII будут даны примеры некоммутативных тел. И II. Бурбаки
162
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 9
Всякое пересечение подтел тела К снова есть его подтело; поэтому можно определить подтело, порожденное произвольным множеством XdK, как наименьшее подтело тела К, содержащее X.
Предложение 1. Множество всех элементов тела К, перестановочных с каждым элементом произвольного фиксированного множества M Cl К, есть подтело тела К.
Действительно (§8, предложение 2) это множество образует в К подкольцо; с другой стороны, если х Ф 0 перестановочно с z^M, то это же верно для X"1 (§ 2, предложение 6), и предложение доказано.
Следствие. Центр тела К есть (коммутативное) подтело этого тела.
¦}. Гомоморфизмы тел
Предложение 2. Единственными левыми (соответственно правыми) идеалами тела К являются (0) и К.
Действительно, если х Ф 0 принадлежит левому идеалу а, то х~1х=е^ а, и значит, а = К.
Теорема 1. Если / — гомоморфизм тела К в множество E, наделенное гомологичной структурой, то либо / (К) есть кольцо, сводящееся к 0, либо /(К) есть тело, а / — изоморфизм К на /(*)¦
— 1
Действительно, прообраз /(0) элемента 0 кольца ЦК), как двусторонний идеал в К, совпадает с К или с (0), и справедливость утверждения теоремы следует из теоремы 3 § 8.
Предложение 2 допускает следующее обращение: .
Предложение 3. Если в кольце А, не сводящемся к 0 и обладающем единицей, не существует ни одного левого идеала, отличного от (0) и А, то А — тело.
Действительно, пусть х — произвольный ненулевой элемент из А; так как А обладает единицей е, то левым идеалой, порожденным элементом х, служит множество Ах; содержа х Ф 0, этот идеал совпадает с А, и значит, существует х' ? А такое, что х'х = е. Поскольку х ф 0, таким же рассуждением устанавливается суще-
4
ТЕЛА
163
ствование х” 6 А такого, что х.'х' — е\ следовательно, хх' — ехх' = = x"x’xx'=xf'ex' = x"x' = e, иными словами, х есть элемент, обратный к х, и предложение доказано.
Замечания. 1) Предложение 3 теряет силу, если не предполагать, что А обладает единицей (см. упражнение 3).
2) Некоммутативное кольцо (с операторами) А вполне может не иметь никакого двустороннего идеала, отличного от (0) и А, бег» того, чтобы быть телом (такие кольца будут изучаться в главе VIII).
Из предложения 3 вытекает следующая теорема:
Теорема 2. Пусть А — кольцо с единицей и а — его двусторонний идеал. Для того чтобы факторколъцо Ala было телом, необходимо и достаточно, чтобы а было максимальным левым идеалом кольца А.
Действительно, А/а обладает единичным элементом, а сформулированное условие выражает в силу теоремы 5 § 8, что единственными левыми идеалами в Ala являются (0) и Aia.