Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
2) Если E — множество, наделенное коммутативным ассоциативным закономT , и Е— результат, симметризации множества E (§ 2, п° 4) относительно T, то множество всех регулярных элементов из E образует группу относительно индуцированного на нем иа E закона. В частности, множество Z, наделенное сложением, есть группа; она называется аддитивной группой рациональных целых чисел', точно так же и множество Q* рациональных чисел > 0, наделенное умножением, есть группа.
Группа G называется конечной, если множество ее элементов конечно, и бесконечной — в противном случае. Число элементов конечной группы называют порядком этой группы.
Если закон композиции на G определяет в G структуру группы, то это же верно и для противоположного закона; две определенные так группы называются противоположными. Отображение группы G на себя, относящее каждому элементу из G симметричный ему элемент, есть изоморфизм группы G на противоположную группу (§ 2, предложение 5); оно называется симметрией или отображением симметрии группы G на себя и является инволю-тивной подстановкой этой группы.
В настоящем параграфе всюду, где явно не оговорено противное, мы обозначаем закон композиции группы мультипликативно,, а нейтральный элемент записываемого так группового закона
86
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 6
обозначаем е (напомним, что в этом случае е часто называется единичным элементом группы); симметрия группы G на себя записывается тогда х—* Xх.
Следуя нашим общим соглашениям (Теор. мн., Рез., § 2, п° 4), мы обозначаем образ множества A CZ G при симметрии х —г аГ1 через А1. Ho важно отметить, что, несмотря на сходство обозначений, А'1 , отнюдь не является элементом, обратным А относительно закона композиции (X, Y) —у XY подмножеств множества G (напомним, что XY есть множество всех ху, где X € X, у ? У); действительно, нейтральным элементом относительно этого закона служит {е\, а единственными элементами из $ (G), обратимыми относительно этого закона, являются множества A = {а}, сводящиеся к одному элементу (причем такое А действительно имеет своим обратным А'1). Имеет место тождество (ABy1 = B 1A"1 (Acz G, Вт G). Если A=A'1, то А называется симметричным подмножеством группы G. Каково бы ни было A CZ G, A [JA-1, Af]A "* и AA 1 симметричны.
2. Подгруппы
Определение 2. Подгруппой группы G называется всякое непустое множество HczG такое, что структура, индуцированная в нем из G, есть структура группы.
Предложение 1. Пусть H — непустое подмножество группы G; следующие утверждения равносильны'.
а) H — подгруппа группы G.
б) Н — устойчивое множество (иными словами, отношения х?Н, у?Н влекут ху Є LI) и отношение х Є И влечет аГ1 Є Н.
в) Отношения х?Н, у?Н влекут хуЄ Н.
Покажем сначала, что из а) следует б). Поскольку закон композиции, индуцированный в H из G, должен быть всюду определенным, H должно быть устойчивым множеством в G. При этом, поскольку индуцированный закон должен обладать нейтральным элементом и, последний удовлетворяет условию U-U = U, откуда и = и-и'1 = е, так что Н. содержит е; следовательно, если элемент ж Є H обратим в H, его обратный в H совпадает с его обратным х"1 в G\ тем самым б) полностью доказано.
Обратно, из б) следует а); действительно, для каждого х?Н имеем х~х?Н и, значит, х-х"1 = е?Н; тем самым закон композиции, индуцированный в Я изб, определяет в H структуру группы.
ГРУППЫ И'ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ
87
Наконец, ясно, что из б) следует в); обратно, если в) выполнено, то х? H влечет х-х~х = eg H и, далее, е-х'1 = х~г g Н; следовательно, отношения х? Н, у?Н влекут х (у'1)'1 = ху g Н, чем доказано, что из в) следует б).
Замечания. 1) Так же доказывается, что утверждение б) предложения 1 равносильно следующему:
в') Отношения х ? Я, у ? H влекут у~гх ? Я.
2) Утверждение б) может Сыть также записано в виде II -H CZ H и Я-1 CZ Я. Таким образом, в случае непустого множества II CZ G из этих отношений следует, что Я — подгруппа; тогда е ? Я, откуда X cz H-X для каждого X CZ G и, в частности, II CZ H-II1, с другой стороны, отображение симметрии группы G преобразует включение H~l CZ H ъ H CZ Я-1. Тем самым для каждой подгруппы Я группы G выполняются отношения
H-H = H, Я-1 = Я. (1) ’
Утверждение в) записывается также в виде Я• H1 С Я; таким образом, для непустого множества H С G это отношение равносильно отношениям (1); то же верно и для отношения Я_1-Яс Я.
Ясно, что если H — подгруппа группы G, а К — подгруппа группы Н, то К — подгруппа группы G.
Множество {е} есть подгруппа группы G1 очевидно, наименьшая (ибо содержится во всех подгруппах). Пересечение H семейства подгрупп (H1) есть подгруппа, ибо оно не пусто (eg .Hrt для каждого і) и отношения Xg H, у?Н, влекущие ху-16 H1 для каждого і, влекут тем самым ху~г ? II.
Следовательно, существует наименьшая подгруппа G, содержащая заданное множество X Cl G\ она называется подгруппой, порожденной множеством X, а X — системой образующих этой подгруппы.
Пример. Найдем все подгруппы аддитивной группы Z рациональных целых чисел. Если H — такая подгруппа, не сводящаяся к одному элементу 0, то пусть X ? H таково, что х Ф 0; тогда лнбо х > 0, либо, прн х < 0, х' = —х > 0 и г' (Я; таким образом, множество всех элементов > 0 из Д не пусто; пусть а — его наименьший элемент. Индукцией по т ? N* убеждаемся в том, что та ? Я для всех т ? N*; значит, также —та ? Я для всех т ? N*, и так как 0 ? Я, то, следовательно, па ? Я, каково бы ни было п ? Z. Пусть х Є Я, тогда (§ 4, п° 3) х=да~ г, где ^Zn0<r<«; так как qa?H, то г — х—qa ? Я; но, по определению элемента а,
