Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЗАКОНАМИ КОМПОЗИЦИИ
83
тральным элементом е, .что левый внешний закон, порожденный законом T , дистрибутивен относительно умножения и что правый внешний закон, порожденный законом T , дистрибутивен относительно сложения. Показать, что если существуют х, у, z, для которых хТ z, у T г и (х-\-у) T z регулярны относительно умножения, то е + е = е. [Использовать упражнение 2а.]
*5) Говорят, что всюду определенный внутренний закон композиции T на E определяет в E структуру квазигруппы, если левый и правый переносы ух и 6Ж являются для всех х (j E взаимно однозначными отображениями E на себя. Квазигруппа называется дистрибутивной, если закон T двояко дистрибутивен относительно самого себя.
а) Определить все структуры дистрибутивной квазигруппы в множестве из п элементов, где 2</г<.6.
б) “Показать, что множество Q рациональных чисел, наделенное
1
законом композиции (х, у) —у — (х-\-у), есть дистрибутивная квазигруппа.,,
в) Каждый элемент дистрибутивной квазигруппы E идемпотентев. Вывести отсюда, что если E содержит более одного элемента, то T не может ни обладать нейтральным элементом, ни быть ассоциативным.
г) Левые и правые переносы в E янляются автоморфизмами.
д) Если E конечно, то структура, индуцированная в каждом его устойчивом подмножестве, есть структура дистрибутивной квазигруппы.
е) Если R — отношение эквивалентности, согласующееся слева (соответственно справа) сТ, то классы mod R являются устойчивыми множествами. Если E конечно, то все эти классы получаются из одного из них посредством левого (соответственно правого) переноса; при тех же условиях, если R согласуется с Т, то факторструктура в EjR есть структура дистрибутивной квазигруппы.
ж) Множество Aa всех элементов из Е, перестановочных с заданным элементом а, устойчиво; если E конечно, то для каждого х ? Aa имеем Ax=Aa [используя д), заметить, что существует у ?Аа, для которого х^аТу], и множества Ax, где х пробегает Е, совпадают с классами эквивалентности по некоторому отношению, согласующемуся с Т.
з) Если E конечно, a T коммутативен, то число элементов множества E нечетно. [Рассмотреть пары (х, у) элементов из Е, для которых х T у= уТ X = а, где а задано.]
6) Пусть на множестве E заданы (ассоциативное и коммутативное) сложение, относительно которого все элементы из E симметризуемы "(иными словами — закон композиции аддитивной группы),., и (ассо-
84
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 6
диативное) умножение, двояко дистрибутивное относительно сложения; положим хоу=ху — ух; закон х°у двояко дистрибутивен относительно сложения. Для того чтобы X и у были перестановочны относительно умножения, необходимо и достаточно, чтобы хоу=0; имеют место тождества
Xoy= — (у ox); Xo(yoz)-{-yo(zox)-\-Zo(xoy) = 0
(второе из которых известно под наименованием «тождества Якоби»). Второе тождество записывается также в виде
Xo(yoz) (xoy)oz = (z°x)oy,
выражающем «отклонение закона хоу от ассоциативности».
7) В тех же предположениях, что и в упражнении 6, положим хТ у =Xyjr ух; тогда закон T коммутативен, двояко дистрибутивен относительно сложения, но вообще не ассоциативен.
т-\-п т п
а) Показать, что, каково бы ни было х?Е, T х = (Т х)Т (Т х).
б) Положим [х, у, z] = (хТ у) T z — жТ (у T z) (отклонение закона T от ассоциативности). Доказать тождества
[х, У, z] + [z, у, х]=0,
[х, у, z\-\-[y, 2, x]-\-[z, х, j/] = О,
[хT у, и, z] = K°((a:T у)°г)
(где хоу имеет тот же смысл, что и в упражнении 6) и [хТ у, и, z] + [yT Z, и, x] + [z T X, и, у]= 0.
*8) Пусть на E заданы (ассоциативное и коммутативное) сложение,
' относительно которого все элементы из E симметризуемы, и умноже-
ние, не ассоциативное, однако коммутативное и двояко дистрнбутив-1 ное относительно сложения. Предположим, кроме того, что в E отно-
шение п-х=0 (где п—любое целое Ф0) влечет х=0. Положим [х, у, z] = (xy) z—x(yz). Показать, что если имеет место тождество
[ху, и, z\-\-[yz, и, x]-j-[zx, и, у] = 0,
то хт+п =хтхп для всех X ? Е. [Показать с помощью индукции по р, что при 1 <!<?¦<р имеет место тождество [х% у, xP~Q]=0.]
§ 6. Группы и группы с операторами
I- Группы
Определение 1. Говорят, что всюду определенный внутренний закон композиции на множестве G определяет в G структуру группы (или групповую структуру), если 1° он ассоциативен; 2° он обладает нейтральным элементом; 3° для каждого элемента
I
ГРУППЫ И ГРУППЫ с операторами
85
из G в G существует элемент, симметричный ему относительно этого закона. Множество, наделенное групповой структурой, называют группой.
В силу предложений 3 и 4 § 2, то же самое можно выразить, сказав, что группа G — это непустой моноид (§1, п° 3), такой, что левый и правый переносы ух и 6Х являются для каждого x$G отображениями G на G: тогда они являются взаимно однозначными отображениями G на G (см. упражнение 2).
Примеры. I) В произвольном моноиде Е, обладающем нейтральным элементом, множество всех симметризуемых элементов, наделепное индуцированной структурой, есть группа. В частности, множество всех взаимно однозначных отображений F на себя (т. е. всех подстановок множества F) есть группа относительно закона /°g; она называется симметрической группой множества F; мы еще вернемся к этой группе и более детально рассмотрим ее в § 7.
