Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Следуя снова § 4, мы будем называть представление группы G в себя эндоморфизмом группы G, и, как всегда, автоморфизмом группы G будет изоморфизм G на себя. Композиция двух эндоморфизмов группы G относительно закона fog есть снова эндоморфизм зтой группы; композиция двух автоморфизмов группы G относительно того же закона, равно как и отображение, обратное к автоморфизму, есть автоморфизм группы G.
Иными словами, автоморфизмы группы G образуют группу относительно закона fog (см. § 7).
Предложение 4. Каков бы ни был элемент х группы G, ее отображение ах в себя, определяемое формулой ах (у) = хух'1, является автоморфизмом этой группы.
Действительно, ах — эндоморфизм группы G, ибо
х ¦ yz • х~х = (хух'1) (XZX-1).
С другой стороны, так как отношение хух"1 = и равносильно отношению у = х"хих, то для каждого u?G существует, и притом единственное, у такое, что ах (у) —и, иными словами, ах есть взаимно однозначное отображение группы G на себя. Тем самым а.х — ее автоморфизм.
Автоморфизмы ах называются внутренними автоморфизмами группы G.
При мультипликативной записи группы G иногда пишут JZoc = Ox-I (у) = х~1ух.
Это обозначение оправдывается (по соглашениям § 5) тем, что отображение (х, у) —у ух, рассматриваемое как внешний закон композиции операторов х ? G и элементов у ? G, дистрибутивно относительно группового закона длн элементов у и ассоциативно относительно противоположного закона для операторов х — свойства, выражаемые тождествами
(xy)U = Xuyu, Xuv = (Xu)”.
94
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 6
Однако мы будем пользоваться этим экспоненциальным обозначением лишь когда опо не сможет вызвать недоразумений, и притом каждый раз напоминая его смысл.
Очевидно, автоморфизм группы G, и в частности внутренний автоморфизм, преобразует каждую ее подгруппу в изоморфную подгруппу; определение 3 означает, что подгруппа группы G— нормальная, если она преобразуется в себя каждым внутренним автоморфизмом группы.
5. Произведения групп
Замечания, сделанные в п° 5 § 4, показывают, что произведение групповых структур является групповой структурой, что позволяет ввести следующее определение:
Определение 6. Произведением семейства групп (Gl)ve/ называется произведение G = JjGt семейства множеств (Gl)te/, наделенное
групповой структурой, определяемой законом, относящим любым двум элементам х = (X1) и у = (yt) этого произведения элемент Xy = (Xiyl).
Если Ну, — подгруппы (соответственно нормальные подгруппы) групп G1, то U #t, наделенное структурой, индуцированной из G,
ієг
есть подгруппа (соответственно нормальная подгруппа) группы G, изоморфная произведению групп H1. В частности, пусть / CZ I и K = CJ; произведение Gj = [] G1 изоморфно нормальной
i?J
подгруппе Gj = ( |] G1) X ( П {el}) ГРУПЫЫ G и часто отождест-
вляется с ней посредством изоморфизма (называемого каноническим), относящего каждому элементу (X1)1^j ? Gj элемент (l/t)t?J Є Gj такой, что Jzl = Xi для всех і ? / и yl = et для всех i (? J. Проекция prj группы GnaGj есть гомоморфизмв на Gj; прообраз нейтрального элемента группы Gj относительно этого гомоморфизма есть не что иное, как G^, так что Gj изоморфно GIG'k > a G — произведению GjX(GIGj). Из определения 6 следует, что если J1 я Ji — два непересекающихся подмножества множества I, то каждый элемент из Gji перестановочен с каждым элементом из Gj2.
6
ГРУППЫ И ГРУППЫ G ОПЕРАТОРАМИ
95
Предложение 4 § 4 дает здесь следующее:
Предложение 5. Пусть G1 и G2- группы и H1, Hi — их нормальные подгруппы. Каноническое отображение произведения факторгрупп (G1IH1)X(G2IH2) на факторгруппу (G1xG2)l(H1x Hi) есть изоморфизм.
Более общим образом, пусть (Gl)lCi — произвольное семейство
групп и G= [JG1—его произведение; пусть, далее, H1 для каж-1?/
дого ig/ — нормальная подгруппа группы G1 и Д — канонический гомоморфизм G1 на GjHl. Ясно, что отображение (X1)—*¦ (J1(X1)) группы G в группу G' = J ] GJH1 есть сюръективный *) гомоморфизм, ядром которого служит нормальная подгруппа H=WH1
группы G; поэтому заключаем (теорема 3), что GIH канонически изоморфно G'.
Важным частным случаем произведения групп является группа, образованная всеми отображениями некоторого множества E в группу G, с композицией h=fg отображений fag, определенной условием, что h(x) = f (х) g (х) для всех х?Е; эта группа есть не что иное, как произведение Ge групп G.
6. Прямое произведение подгрупп
Пусть G= [| Gi — произведение конечного семейства групп Gi;
l^i^n
согласно предыдущему, Gi изоморфно нормальной подгруппе G1i = GiX [| {е;} группы G и при і Ф] каждый элемент из Gl пере-
ІФІ
становочен с каждым элементом из Gi. Всякий элемент х =(xt) ^ G представим В виде X = UjU2 ...Un, где Ui = (Uij) — элемент из Gri такой, что Uii = Xi и UiJ = е^ для всех j Ф Ї, обратно, если X = U1A2 ... и„, где Wi^Gi (1<г<п), и Pri(Di) = ZZi, то X=(ZZi), откуда JZi = Xi и Vi = Ui; таким образом, элементы Ui однозначно определяются заданием х; при этом х есть также композиция любой последовательности, получающейся из последовательности (Ui)l5sijsn перестановкой членов (§ 1, теорема 3).
