Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 9. В конечной группе G п-го порядка хп = едля каждого x^G.
Действительно, если р -— порядок элемента х, то га = pq, где q— целое, и потому хп ~ (xp)q = е.
S ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ 99
Н. Центр группы-, коммутант.
Предложение 10. Центр Z группы G есть ее коммутативная подгруппа, преобразуемая каждым автоморфизмом группы G в себя\ каждая подгруппа центра Z есть нормальная подгруппа группы G.
То, что Z — подгруппа группы G, вытекает из предложения 1 § 1 и предложения 6 § 2; то, что каждый автоморфизм группы G преобразует эту подгруппу в себя, очевидно; наконец, так как хух~1=у для каждого G и каждого г/gZ, то всякая подгруппа группы Z есть нормальная подгруппа группы G.
Если G коммутативна, то она совпадает со своим центром. Для некоммутативной группы G центр может сводиться к одному нейтральному элементу е (в частности, это имеет место в случае, когда G простая).
Следует иметь в виду, что коммутативная подгруппа группы С не обязательно содержится в центре этой группы; папример, если G — некоммутативная простая группа, то моногепные группы, порожденные элементами из G, коммутативны и не сводятся к е.
Выясним теперь, какому условию должна удовлетворять нормальная подгруппа H группы G, чтобы факторгруппа GIH была коммутативна. Каковы бы ни были x?G, y?G, мы должны иметь ху = ух (mod Н) или, что равносильно этому, у~1х~1ух = е (H), т. е. у~1х~1ух?Н. Элемент у~гх~гух называется коммутатором х я у (и ипогда обозначается х<> у); мы видим, таким образом, что H должно содержать множество коммутаторов всевозможных пар (х, у) элементов из G, а следовательно, также порожденную им подгруппу С группы G. Эта подгруппа С называется коммутантом (или производной группой) группы G; очевидно, она преобразуется в себя каждым автоморфизмом группы G и, в частности, является нормальной подгруппой группы G; более общим образом, всякий эндоморфизм ф группы G преобразует каждый коммутатор в коммутатор, так что (р (C)CI С. Резюмируя, имеем:
Предложение 11. Для того чтобы факторгруппа GIH группы G была коммутативной, необходимо и достаточно, чтобы нормальная подгруппа H группы G содержала коммутант С этой группы.
7*
100
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 6
Если G коммутативна, то ее коммутант сводится к е; для некоммутативной группы коммутант может совпадать с G (что, например, имеет место в случае, когда группа G простая).
Заметим, что множество всех коммутаторов группы G вообще не совпадает с (порождаемым им) коммутантом: произведение двух коммутаторов не есть вообще коммутатор.
9. Группы с операторами
Определение 10. Группой с операторами называют множество G, наделенное алгебраической структурой, определяемой одним (внутренним) групповым законом и одним или несколькими дистрибутивными относительно него внешними законами композиции.
Иными словами, при мультипликативной записи группового закона, для любого, оператора а любого внешнего закона J. группы с операторами G имеет место тождество
а± (и/) = (а±а0(а1?/).
В дальнейшем нам встретятся довольно разнообразные структуры групп с операторами; каждый род их будет характеризоваться заданием соответствующих областей операторов и чаще всего — также дополнительными условиями, наложенными на рассматриваемые законы композиции.
В группе с операторами G каждый оператор порождает эндоморфизм ее групповой структуры; задание каждого из внешних законов, определяющих структуру группы с операторами, сводится к заданию семейства эндоморфизмов группы G; эти эндоморфизмы будут часто называться гомотетиями группы с операторами G. В дальнейшем при мультипликативном обозначении группового закона мы будем (согласно соглашениям § 5, n° 1) пользоваться для гомотетий экспоненциальным обозначением, т. е. записывать композицию оператора а и элемента x?G в виде Xа, так что дистрибутивность будет выражаться тождеством (ху)а=хауа.
Группу с операторами G называют коммутативной, если ее групповой закон коммутативен; при аддитивной записи этого закона внешние законы обычно записываются в виде умножения слева или справа (см. § 5, n0 1).
10
ГРУППЫ И' ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ
101
На группе G всегда можно ввести внешний закон с областью операторов, сводящейся к единственному элементу е, определяемый условием хЕ=х для всех x?G (иными словами, внешний закон, единственный оператор которого является нейтральным). Этот внешний закон и групповой закон определят в G структуру группы с операторами; но она по сути ничем не отличается от заданной в G структуры группы, поскольку все введенные в § 4 понятия, относящиеся к алгебраическим структурам (устойчивые множества; отношения эквивалентности, согласующиеся со структурой; представления), для этих двух структур одинаковы. Тем самым это позволяет рассматривать группы как частный случай групп с операторами и применять все формулируемые дальше результаты, относящиеся к группам с операторами, также к группам.
В коммутативной группе G, записываемой, скажем, мультипликативно, для всех ngZ имеет место тождество (ху)п=хпуп (§ 1, формула (8)); следовательно, внешний закон композиции (П, х) хп целых чисел Tl g Z и элементов x?G в соединении с груп-
