Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 35

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 201 >> Следующая


0 < г < а влекло бы г (t Я; значит, г = 0 и х= qa. Тем самым Я совпа-
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. X, § 6

дает с множеством всех па, где п (f Z, иными словами, Н = а-Ъ. Обратно, очевидно, аЪ есть подгруппа группы Z для всякого a (f N*; если а = 0, то a-Z = {0}; если а < 0, то а'= —а 0 и аЪ=-а'Ъ, Из проведенного выше доказательства видно также, что аЪ есть подгруппа, порожденная множеством {а}, и что устойчивым подмножеством множества Z, порожденным {а}, служит множество aN* всех та, где т пробегает N*.

Этот пример показывает, что следует остерегаться смешения устойчивого подмножества группы G, порожденного множеством Icfi1C подгруппой, порожденной этим множеством: первое всегда содержится во второй, но вообще отлично от нее. Способ образования подгруппы, порождаемой множеством X, точно описывается следующим предложением:

Предложение 2. Подгруппа, порожденная непустым подмножеством X группы G, совпадает с устойчивым множеством У00, порожденным множеством F = XLJX'1.

Действительно, У00 есть множество композиций всевозможных последовательностей, все члены которых — либо элементы из X, либо обратны таким элементам; так как элемент, обратный композиции этого вида, снова есть композиция того же вида (§2, предложение 5), то (предложение I) Yco есть подгруппа группы G; обратно, каждая подгруппа, содержащая X, очевидно, содержит Y, а потому и У°°.

3. Факторгруппы

Выясним, какие отношения эквивалентности согласуются с законом композиции группы. Согласно предложению 1 § 4, достаточно рассмотреть отдельно согласованность слева и согласованность справа; вопрос решается следующей теоремой:

Теорема 1. Если отношение эквивалентности R в группе G Л,<огласуется слева (справа) с групповым законом, то оно равносильно отношению вида х~ху$.Н (соответственно ух'1 ? Н), где H — подгруппа группы G. Обратно, для любой подгруппы H отношение х'ху 6 H (соответственно ух'1 б Н) есть отношение эквивалентности, согласующееся слева (соответственно справа) с заданным в G групповым законом.

Ограничимся рассмотрением того случая, когда отношение R согласуется слева с групповым законом (случай отношения, согла-

88

«г
з

ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ

89

сующегося справа, получается отсюда переходом от G к противоположной группе). Отношение у = х (modi?) равносильно отношению х~ху=е (mod R), ибо у = х влечет х~1у=х~1х и, обратно, х^у=е влечет X (X'1I/) = х. Таким образом, R равносильно отношению х~1у Є H, где Я- класс, образованный элементами х = е. Покажем, что H — подгруппа группы G; для этого достаточно установить (предложение 1), что х?Н и у ? H влекут хху G Н, т. е. что х = е и у = е влекут X S= у; но это вытекает из транзитивности отношения R.

Обратно, пусть Н— подгруппа группы G; отношение X-1Jj^H рефлексивно, поскольку X1X = е? Н; оно симметрично, поскольку X^ytH влечет у~1х = (х^уУ1 (j Н; оно транзитивно, ибо х^у^Н и y~1z? H влекут x~1z= (х~гу) (y~1z) G Н; наконец, оно согласуется слева с законом композиции группы G, ибо х~ху = (ZxY1(Zy) для любого z(jG.

Отношение х~гу (j H (соответственно ух'1 G Н) записывается также в равносильной форме у (j хН (соответственно у Є Hx). Таким образом, каждая подгруппа H группы G определяет два отношения квивалептности в G, аименно: у? хН и у G Hx; классами эквивалентности по этим отношениям служат соответственно множества хН, называемые левыми классами по H (или по модулю Н), и множества Hx, называемые правыми классами по И (или по модулю Н). Насыщая множество A CZ G по этим отношениям (Теор. мн., Рез., § 5, п° 6), получаем соответственно множества АН и НА. При переходе к противоположной группе каждая подгруппа H остается подгруппой, причем левые классы превращаются в правые и обратно; при симметрии группы G каждая ее подгруппа H отображается на себя, а левые классы преобразуются в правые и обратно.

Если число различных левых классов (mod Н) конечно, оно называется индексом подгруппы H относительно G и обозначается (G:H); оно равно также числу правых классов. Если существует бесконечное множество различных левых классов, то H называется подгруппой бесконечного индекса.

Подгруппа К группы G, содержащая H, является объединением левых (равно как и правых) классов по Н; если при этом К — объединение конечного числа различных левых классов по H т. е. индекс (K-H) конечен), то и каждый левый класс по К есть
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

ГЛ. I, § 6

объединение такого же числа различных левых классов по Н, ибо он получается из К путем левого переноса. В частности, имеет место

Предложение 3. Пусть HuK — подгруппы группы G, причем HdK. Если индекс (G:H) конечен, то также индексы (G:K) и (К:Н) конечны и

(G:H) = (G:K) (К:Н). (2)

Обратно, если (G:K) и (К:Н) конечны, то (G:H) конечно и имеет место формула (2).

Следствие. Если G — конечная группа порядка g и H — ее подгруппа порядка h, то

(С:Я) = | (3)

{в частности, порядок и индекс подгруппы H являются делителями порядка группы G).

Теорема 1 позволяет охарактеризовать отношения эквивалентности, согласующиеся с групповым законом в G: так как такое отношение R согласуется с групповым законом одновременно и слева и справа, то классH нейтрального элемента е (mod/?) есть подгруппа, для которой отношения у с хН и у с Hx (будучи оба равносильными R) равносильны; таким образом, хН = Hx, каково бы ни было х ? G. Обратно, если это условие выполнено, то оба
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed