Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
*) Сюръективное отображение — отображение на.— Перев.
gg АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I. § 6
Введем следующее определение:
Определение 7. Мультипликативная группа G называется прямым произведением конечного семейства (Н\) своих различных подгрупп, если при ІФ/ каждыйэлемент из Hi перестановочен с каждым элементом из Hj и если каждое x?G представимо, притом единственным способом, в виде х = U1U2 ... ип, где Ui ? Hi (1 < ї< п). Элемент Ui называется компонентой х в Hi.
Таким образом, можно сказать, что каждое произведение конечного семейства групп есть прямое произведение
i$Zi<Zn
подгрупп Gu изоморфных Gi.
Обратно, допустим, что группа G есть прямое произведение семейства (Hi)своих подгрупп. Для каждого х ^G отношение X= U1U2...ип, где Ui G Hi (1 < ї< п), по предположению, однозначно определяет элементы Ui; положим Ui = Ji(X). Покажем, что Д — гомоморфизм G на Hi. Действительно, так как Ji(Hi) = Hi, то Ji отображает G на Hi. G другой стороны, если у ^G, Vi = Ji (у), у = V1V2 ... Vn, то условие перестановочности подгрупп Hi влечет Xy=(U1V1)(U2V2). ..(UnVn); в самом деле, достаточно доказать индукцией по р, что
(U1U2 ... Up) (V1V2 ...vp) = (U1V1) (U2V2) ... (UpVp);
а это очевидно, если заметить, что, согласно предложению 2 § 1, UpV1V2 . .. Vp^=V1V2 . . . Vp^up. Отсюда следует, что отображение x—^(fi(x)) есть изоморфизм группы G на произведение групп [j IIi, переводящий Hi в нормальную подгруппу Н\ этого про-
изведепия, образованную теми и = (Ui), в которых Ui = е при / Ф і. Резюмируя, имеем:
Предложение 6. Если группа G есть прямое произведение конечного семейства (Hi)l^issn своих HodzpynnHi, то последние являются ее нормальными подгруппами, и отображение, относящее каждому элементу и = (Ui) произведения Hi групп Hi композицию
U1U2 . . . ип последовательности (Ui), есть (называемый каноническим) изоморфизм [j Hi на G.
1^1
ГРУППЫ И-ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ
97
Основываясь на этом изоморфизме, часто не делают различия между понятиями произведения и прямого произведения конечного семейства подгрупп заданной группы.
Если G — прямое произведение своих подгрупп Hi (1< i< п), то из указанного изоморфизма явствует, что
(H1H2 . . . H^1Hitl . . . Яп)ПЯі = {е) (1< i<n).
Обратно:
Предложение 7. Если (Hi)і^і^п—конечное семейство нормальных подгрупп группы G, обладающее тем свойством, что
(H1H2... Я4)П#(+1 = {е} (1<*<л-1),
то H1H2 ... Наесть нормальная подгруппа группы G, являющаяся прямым произведением подгрупп Hi.
Применение индукции по п сразу сводит вопрос к доказательству предложения для п = 2. Покажем сначала, что любые два элемента X^H1 и у ^ H2 перестановочны, действительно, так как хг/х'1 г/"1 = (хух~г) у'1 = х (ух~1у"1), то (вследствие нормальности подгрупп H1 и H2) хух~1у~1 ? H1^IJ2, т. е., в силу предположения, хух~ху~х = е. Отсюда следует (согласно предложению 1), что H1H2 есть подгруппа группы G, и непосредственно проверяется, что эта подгруппа — нормальная. Пусть, наконец, ху = х'у', где х?Нг, X1S-H1, у Є#2, у’ ?#2; тогда х’~1х = у'у'1, значит, х"гх ? H1P1H2= = {е}, х'=х, и так же у'=у. Тем самым H1H2 есть прямое произведение подгрупп H1 и H2.
Для аддитивных групп вместо «прямое произведение» употребляют термин прямая сумма.
7. КомJnymamtieiibie группы: тоногенные группы
Определение 8. Группу называют коммутативной (или абелевой), если ее запон композиции коммутативен.
Коммутативная группа будет часто записываться аддитивно, а ее нейтральный элемент обозначаться тогда О (и называться нулем).
В коммутативной группе каждый внутренний автоморфизм сводится к тождественному и, значит, всякая подгруппа нормальна.
7 Н. Бурбаки
98
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 6
Всякая факторгруппа коммутативной группы коммутативна; всякое произведение коммутативных групп коммутативно.
Пусть G — произвольная группа и А — ее подмножество, элементы которого попарно перестановочны; в силу доказанного выше предложения 2 и предложения 7 §2, подгруппа группы G, порожденная множеством А, коммутативна.
Рассмотрим, в частности, тот случай, когда А сводится к одному элементу х; тогда подгруппа X, порожденная множеством Ar образована степенями хп, где га пробегает Z (предложение 2), и всегда коммутативна; в силу тождества хт+п = хтхп, отображение п—>хп есть гомоморфизм аддитивной группы Z на X; следовательно (теорема 3), X изоморфна либо группе Z, либо ее факторгруппе, т. е. (п° 3) аддитивной группе целых чисел по модулю а, где а > 0; в этом последнем случае X есть конечная группат состоящая из а элементов.
Определение 9. Группа называется моногенной, если она порождается одним из своих элементов; конечная моногенная группа называется также циклической группой.
Мы доказали следующее предложение:
Предложение 8. Моногенная группа коммутативна-, если она бесконечна, то она изоморфна аддитивной группе Z рациональных целых чисел; если она — конечная группа порядка п, то она изоморфна аддитивной группе целых чисел по модулю п.
Если (.моногенная) подгруппа произвольной группы G, порожденная элементом х ^G, имеет конечный порядок р, то X называют элементом р-го порядка; тем самым р есть наименьшее целое число > 0, для которого Xv=е; если подгруппа, порожденная элементом х, бесконечна, то х называют элементом бесконечного порядка. Эти определения в соединении с предложением 3 влекут, в частности, что в конечной группе G порядок каждого элемента есть делитель порядка группы; в качестве следствия отсюда вытекает
