Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 36

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 201 >> Следующая


отношения эквивалентности у ? хН и у ? Hx согласуются с группо-

вым законом, поскольку они согласуются с ним одновременно и слева и справа (§ 4, предложение 1). Принимая во внимание, что равенство хН = Hx эквивалентно равенству хНх_1 = Н, вводим следующее определение:

Определение 3. Подгруппа H группы G называется нормальной (или инвариантной), если хНх~1 = Н для всех х ? G.

Для установления нормальности подгруппы H достаточно показать, что хНх"1 с H для всех х ? G; действительно, тогда для всех х ? G также х~хНх CZ Н, т. е. H CZ хНх~1, и, следовательно, Н = хНх'1.

Пусть H — нормальная подгруппа группы G и R — определяемое ею отношение эквивалентности у?хН; факторзакоп закона группы G по R на фактормножестве GIR ассоциативен; класс
з

ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ

91

нейтрального элемента е группы G является нейтральным элементом относительно этого факторзакона, и классы двух взаимно обратных элементов из G взаимно обратны относительно него (§ 4, п° 3). Таким образом, резюмируя полученные результаты, имеем:

Теорема 2. Отношения эквивалентности, согласующиеся с законом группы G,— это отношения вида у ? хН, где H — ее нормальная подгруппа (причем отношение у?хН для такой подгруппы Я равносильно отношению у ^ Hx); факторструктура структуры группы G по этому отношению есть структура группы.

Определение 4. Результат факторизации группы G по отношению эквивалентности, определяемому ее нормальной подгруппой H, называется факторгруппой группы G по H и обозначается GlH.

Отношение эквивалентности, определяемое нормальной подгруппой H группы G, иногда записывают в виде х = у (mod Я) или х~у (H); факторзакон закона группы G по этому отношению часто для краткости называется факторзаконом закона группы G по Я.

Замечания. 1) Если H — нормальная подгруппа группы G, то, каково бы ни было А С G, AH=HA; это —множество, получающееся путем насыщения множества А по отношению х = у (mod Н).

2) Композицией любых двух элементов хH и yll факторгруппы GIH служит элемент хуН, равный композиции (хН) (уН) в $ (G), ибо HyH — у (у~ 1Hy) H - у (HH) = уН. Точно так же обратным к хН в G/H служит элемент х~1Н, равный (хH)'1, поскольку последнее есть не что иное, как Ji~lx~1=Hx~1.

3) Если Я — нормальная подгруппа конечного индекса, то факторгруппа G/Н есть конечная группа порядка (G:H).

Пример. Если закон композиции группы G коммутативен, то хух~1 =- у, каковы бы ни были afи у, так что всякая подгруппа группы G — нормальная; так обстоит дело, например, для аддитивной группы Z рациональных целых чисел. Ее подгруппы были определены выше (п°2): это — множества аЪ, где а ? Z; отношение эквивалентности, определяемое подгруппой aZ,— не что иное, как отношение я — у б aZ, т. е. сравнение а; = у (mod а) (§ 4, п° 3): сравнения — единственные отношения эквивалентности, согласующиеся со сложением в Z. При а > 0 факторгруппа аддитивной группы Z по сравнению mod а называется аддитивной группой рациональных целых по модулю а; это — конечная группа порядка а.
92

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

ГЛ. I, § 6

Подгруппы G и {е} каждой грзчшы G — нормальные (a GIG и Gl{е} изоморфны соответственно {е} и G); если это единственные нормальные подгруппы, то группу G называют простой. -Пересечение всякого семейства нормальных подгрупп группы G есть нормальная подгруппа; поэтому можно говорить о наименьшей нормальной подгруппе группы G, содержащей множество XdG.

Заметим, что (как мы убедимся на примерах) нормальная под-

V группа К нормальной подгруппы H группы G не всегда есть нор-мальная подгруппа группы G.

4. Представления

Общее определение представления (§4, определение 7) приводит, в частности, в случае групп к следующему определению:

Определение 5. Пусть G — группа и G' — множество, наделенное внутренним законом композиции. Отображение / группы G в G' называется представлением (или гомоморфизмом) GeG', если (при мультипликативном обозначении заданных в G и G' законов), каковы бы ни были x?G и у ^G, / (x)f (у) определено и

1{xy) = f(x)f(y). (4)

Каноническое отображение группы G на ее факторгруппу GIH по нормальной подгруппе H есть гомоморфизм; он называется каноническим гомоморфизмом G на GIH.

Если / — гомоморфизм G в G', то отношение f(x) = f(y) равносильно отношению Цх~гу) = f(e); поэтому общая теорема о гомоморфизмах (§ 4, теорема 1) в соединении с установленной выше теоремой 2 приводит к следующему результату:

Теорема 3. Пусть / — представление группы G в множество G',

наделенное внутренним законом композиции. Тогда / (G) есть группа (относительно закона, индуцированного из G') с нейтральным



элементом е' = / (е). Прообраз H = / (е') последнего есть нормальная подгруппа группы G (называемая ядром представления /); группа f(G) (называемая образом представления /) изоморфна факторгруппе GIH, и представление / есть композиция канонического гомоморфизма G на GIH и инъективного гомоморфизма GIH в G'.
-t

ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ

93

Иными словами, каноническое разложение представления / (Теор. мн., Рез., § 5, п° 3) дает: 1° канонический гомоморфизм G на GIH; 2° изоморфизм GHI на f(G), называемый взаимно одно значним представлением, ассоциированным с /; 3° каноническую инъекцию f (G) в G' (ср. § 4, п° 4).
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 201 >> Следующая

Реклама

Fisher лодочные моторы магазин

и подвесных лодочных моторах

motorchik.pro

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed