Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
повым законом определяет в G структуру группы с операторами; и здесь по той же причине, что и выше, эта структура по сути ничем не отличается от исходной групповой.
Более общим образом, структуру коммутативной группы с операторами не отличают от получаемой путем присоединения к определяющим ее законам еще внешнего закона (п, х) —> хп.
10. J Тстойчивые подгруппы групп с операторами
Пусть G — группа с операторами; для того чтобы структура, индуцированная ее структурой в непустом множестве HdG, была структурой группы с операторами, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы H было подгруппой группы G и чтобы эта подгруппа была устойчивой относительно заданных на G внешних законов; поэтому вводим следующее определение:
Определение И. Устойчивой подгруппой группы с операторами G называется подгруппа группы G, устойчивая относительно заданных на G внешних законов (т^. отображаемая заданными на G гомотетиями в себя), наделенная структурой группы с операторами, индуцированной из G.
102
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. 1, § S
G и {е} всегда являются устойчивыми подгруппами группы с операторами G; коммутант группы G устойчив относительно любой структуры группы с операторами в G, имеющей тот же групповой закон; но центр группы G уже не обладает аналогичным свойством. Пересечение любого семейства устойчивых подгрупп группы с операторами G есть ее устойчивая подгруппа; наименьшая устойчивая подгруппа, содержащая множество Z CZ G, называется устойчивой подгруппой, порожденной этим множеством.
Замечания. 1) При рассмотрении группы как группы с one раторами (а именно с единственным оператором є, определяемым условием Xtl=X) понятие устойчивой подгруппы сливается с понятием подгруппы. Точно так же, если G — коммутативная группа с операторами, понятие устойчивой подгруппы не изменится от присоединения к заданным внешним законам еще закона хп.
2) Нормальную подгруппу группы G можно определить также как подгруппу, устойчивую относительно внешнего закона (s, х) -> S-1Ow1 имеющего своей областью операторов С; этот закон в соединении с заданным на G групповым законам индуцирует в каждой нормальной подгруппе группы G структуру группы с операторами, имеющей областью операторов G.
11. Факторгруппы групп с опер>аторами
Теорема 1 распространяется на группы с операторами. Достаточно сформулировать ее для отношения, согласующегося слева с групповым законом:
Теорема 4. Если отношение эквивалентности R в группе с операторами G согласуется слева с групповым законом и согласуется с внешними законами, заданными на G, то оно равносильно отношению вида х~гу ? Н, где H — устойчивая подгруппа группы G. Обратно, для любой устойчивой подгруппы H отношение х'1у^Н есть отношение эквивалентности, согласующееся слева с групповым законом и согласующееся с заданными на G внешними законами.
Действительно, R равносильно отношению х~1у?Н, где H — класс е (modi?) и H — подгруппа (теорема 1); так как для любого оператора а отношение х = е влечет ха = еа=е, то HaClH, т. е. H устойчиво. Обратно, если H — устойчивая подгруппа, то отношение у ? хН влечет уа ? XaHa CZ хаН, так что отношение эквивалентности х~ху^Н согласуется с заданными на G внешними законами.
IS
ГРУППЫ И'группы G ОПЕРАТОРАМИ
103
Георема 2 непосредственно распространяется теперь на группы с операторами. То же для определения 4: если H — устойчивая нормальная подгруппа группы с операторами G, то фактормножество множества G по отношению эквивалентности, определяемому этой подгруппой Н, наделенное факторструктурой структуры группы с операторами G по этому отношению, есть группа с операторами; она называется факторгруппой группы с операторами G по H и обозначается GIH.
12. Представления групп с операторами
Пусть G — группа с операторами; ее представление в G' можно определить, если G' наделено алгебраической структурой, определяемой, с одной стороны, внутренним законом композиции и, с другой, множеством внешних законов, поставленным во взаимно однозначное соответствие с множеством внешних законов, заданных на G и имеющих каждый ту же область операторов, что и соответствующий закон на G (т. е. структурой, гомологичной структуре, заданной в G (§ 4, n° 1)); отображение / группы с операторами GbG' есть тогда представление (или гомоморфизм), если, каковы бы ни были элементы x?G, у ^G и оператор а на G, f(x)f(y) и (f(x))a определены и
f(xy) = f(x)f(y), f (xa) = (f (х))а.
Отметим, в частности, что эндоморфизм группы с операторами G есть не что иное, как эндоморфизм группы G, перестановочный со всеми заданными на G гомотетиями.
Поскольку гомотетии группы с операторами G не обязательно перестановочпы, гомотетия, вообще говоря, не является эндоморфизмом структуры группы с операторами, заданной в G.
Теорема 3 сохраняется без существенных изменений и принимает следующий вид.
Теорема 5. Пусть f — представление группы с операторами G в множество G', наделенное гомологичной структурой. Тогда f(G) есть группа с операторами (относительно структуры, индуцированной из G') с нейтральным элементом e'=f(e). Прообраз
