Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
її Fi -подпространство в Е, ортогональное к PFi. Пусть, наконец, Wj для каждого ковариантного индекса / (1 ./-С. q) — подпространство в Е, образованное теми х?Е, для которых с j (а? • z) — О, и К, —подпространство в E*, ортогональное к Wj. Показать, что г
р Q
принадлежит тензорному произведению ((S) Vi) У;); при атом,
г=1 /==1
если (?/;)1<г<р — семейство подпространств ИЗ E И (U,)\.Cl<q — семейство подпространств из Е* такие, что г принадлежит тензорному
P о
произведению ((? (Jj) 0 ((? Uj), то FiC Ui и F/: U1, каковы бы
i=l J— I
ни были г и /. [Cm. § 1, упражнение 6.]
2) Пусть и для каждого эндоморфизма и А -модуля E с конечным базисом означает соответствующий и смешанный тензор (принадлежащий Е* ®Е).
а) Показать, что, каков бы ни был вектор х?Е, вектор и (х) получается путем свертывания первого контравариантного индекса тензора хи с ковариантным индексом.
б) Показать, что если w — u о v — -композиция эндоморфизмов у и и, то тензор ш получается путем свертывания второго контравари-антного ипдекса тензора uv с первым ковариантным индексом.
в) Пусть ф - произвольный автоморфизм модуля Е; показать, что пропзведепие ф-и (относительно структуры тензорного пространства В Е* ® Е) есть тензор, соответствующий эндоморфизму фиф1.
3) Пусть E—А-модул[, с конечным базисом (а,). Каждому билинейному отображению и произведения EXE в E соответствует (п° 4) дважды ковариаитный и один раз контравариантный тензор
M = V U1Iihi ((Ii, a j),
і. і
принадлежащий модулю Е* ® Е* ® E. Для того чтобы и определяло ассоциативный закон композиции на Е, необходимо и достаточно, чтобы тензоры с13(и-и) (полученный путем свертывания третьего кова риантного индекса произведения и-и с первым контравариантным
ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
387
индексом) и с%(и-и) (полученный путем свертывания второго кова-риантного индекса того же произведения со вторым контраварпант-пым индексом) соответствонали друг другу при каноническом изоморфизме Е* (? Е* Cv Е* (? E на Е* (? /:? Е* Ъ, Е*.
4) Если А и В квадратные матрицы над коммутативным кольцом А, то Tr (А У) В) -¦=Tг (/I) Tг (/>’).
5) Пусть /) некоммутативное кольцо с единицей; предположим, что в А не существует элемента о 0 , для которого бы (StI г|?) У -¦-0 при всякой паре элемептов (|, г)) из Л. Показать, что если /- линейная форма на левом /4-модуле (А) матриц порядка и > 1 падЛ такая, что / (ХУ) = / (YX) для любой иары квадратных матриц X, Y n-то порядка над А, то /= 0. Вывести отсюда, что если А — некоммутативное тело, то при и 1 матрицы XY — YX, где X и У пробегают левое векторное пространство M,, (А), порождают всё М„(/1).
*6) Пусть E- векторное пространство над полем К и T(E) — тензорная алгебра этого пространства.
а) Показать, что T(E)--некоммутативное кольцо, если размерность E больше 1, п есть кольцо без делителей нуля. Единственными обратимыми элементами в T (E) являются ненулевые скаляры.
6) Пусть х и у — тензоры, принадлежащие T(E). Показать, что если в T(E) существуют элемепты а, b такие, что ха = уЬ, то один из тензоров х, у является правым кратным другого.
в) Показать, что единственными элементами в T(E), перестановочными с тензором X порядка > 0, являются линейные комбинации степеней х. !Использовать б).] Вывести отсюда, что если E — размерности > 1, то цептр T (E) совпадает с К.
г) Показать (используя (б)), что если dim E ;¦ I, то кольцо T(E) не допускает тела левых отношений (гл. I, § 9, упражнение 8).
7) Пусть L (I) — свободный моноид (гл. I, § 1, п° 3), порожденный произвольным множеством /. Показать, что моноидная алгебра этого моноида L(J) относительно коммутативного кольца А с единицей изоморфна тензорной алгебре T (А(^) модуля А(1>.
8) Пусть А — коммутативное кольцо с единицей, E — алгебра над Л, обладающая еднничпым элементом (обозначаемым е), (X1)1^— произвольное семейство элементов из E и T — тензорная алгебра A-модуля Если каждому элементу г— Я,,+ ^ X1 , е. ¦¦¦?. ?Т,
Sr 1I ¦ ¦ • Si 1I >г
uIl)
отнесенному к базису алгебры Т, соответствующему каноническому базису (ev) модуля <4(7\ поставить п соответствие элемент = ((X1)) = X0P.-;- V f ... uh>
алгебры Е, то этим определится представление алгебры T в алгебру Е, п образом T при этом представлении будет подалгебра в E, порожденная единичным элементом и элементами X1.
388
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § 5
§ 5. Внешняя алгебра /. Операторы симметрии
Пусть IaE — произвольные множества. В соответствии с общими определениями (гл. I, § 7, и0 3), каждой подстановке о множества I и каждому его отображению / в E соответствует отображение I н Е, обозначаемое of и определяемое формулой
of (*) = / (а-1*) (1)
для всех х G J. / —* of есть подстановка множества E1 всех отображений I в Е, называемая распространением а на это множество; E1 наделено группой операторов 0; (гл. I, § 7, п° 2) внешнего закона (а,/)—» а/; отображение ст—»фа, где фа означает подстановку / —> сг/, есть представление группы @/ в группу подстановок множества E1, являющееся, если E содержит более одного элемента, изоморфизмом.
