Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
— Ф Ц). Следовательно, г+ TzgiY. Отсюда вытекает, что если
2 ? N, то для каждой транспозиции т также Tz ? Л , иными словами, T (N) = N.
Предположим теперь, что предложение справедливо для подстановки Q, являющейся произведением п транспозиций, и покажем, что оно справедливо для подстановки о — TQ, где т — произвольная транспозиция. По предположению, Qz = я,,г (mod N), откуда crz = tqz s eQtz (mod N), поскольку т (N) — Л ; гак как Tz = eTz (mod N), то заключаем, что crz = e0eTz = = ecz (mod .V).
394
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
I'. 1. III, § 5
Из этого предложения вытекает, что N инвариантно относительно каждого иными словами, является подмодулем
V
относительно структуры В-модуля в (??) Е.
Следствий. Каждое знакопеременное полилинейное отображение антисимметрично.
Действительно, если g — знакопеременное линейное отображе-
р Ji
ние (?) E в то g (z — EaOz) = 0 для каждого z^<^)E и каждой подстановки сг?(5р, откуда, в силу (4). og -= t,,g.
Замечание. Если в F соотношение 2-і/.—О не обязательно влечет 2/=0, то антисимметрическое полилинейное отображение E1' в F не обязательно знаконереыенно. Например, если К — поле характеристики 2, то на векторном пространстве E относительно К симметрические полилинейные формы совпадают с ант асимметрическими, и существуют не знакопеременные симметрические полилинейные формы, например билинейная форма (х, у) -- и (х) и (у), где и — ненулевая линейная форма на Е.
3. Аншиснмметрироваиные линейные функции
V
Предложение 4. Пусть g — линейное отображение CR) E в А-мо-
V
дуль F. Каков бы ни был тензор :?(^Е,
aH (z)~g (az)- (5)
Действительно, умножив обе части соотношения (4) на є0 = єа-’ и просуммировав по гг, получим (5).
Следствие. Результат антисимметрирования любого линей-
V
ного отображения (5^) E в А-модулъ F аннулируется на каждом тензоре z, для которого az = 0.
,О
Будем в дальнейшем обозначать через N1 подмодуль в (? Е, образованный теми тензорами z, для которых az = 0. Следствие предложения 4 показывает, что результат антисимметрирова-
р
ния каждого линейного отображения модуля (? E в А-модуль F аннулируется на подмодуле N1.
4
ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА
Следует, однако, заметить, что это условие не характеризует антисимметрированпые лпшчіїше отображения; иными словами, ми-
V
жет оказаться, что линейиое отображение (? EbF аннулируется на Л | и тем не менее не является результатом антисимметрирования какого-нибудь линейного отображения (см. упражнение 5 и теорему 1).
Предложение 5. Для каждого тензора z, принадлежащего подмодулю N, на котором аннулируются все знакопеременные линейные функции, имеет место равенство az — 0 (иными словами, N CZ N1).
Действительно, N порождается тензорами z такими, что тz = z для некоторой транспозиции т. Покажем, более общим образом, что в модуле М, связанном с группой ©р, каждый элемент z такой, что тz—z для некоторой транспозиции т, удовлетворяет условию Ciz = 0. Для этого рассмотрим в Sp подгруппу Г второго порядка, образованную транспозицией т и тождественной
подстановкой. Возьмем в каждом из левых классов по Г четную подстановку Olr Согласно определению 3, для каждого z?.l/
можно написать az = 2 аь (2 — Tz)> гДе сумма распространяется
h
на все четные подстановки, а отсюда непосредственно следует наше утверждение.
Можно привести примеры модулей К, для которых А -- Ai (см. упражнение 6).
Следствие. Результат антисимметрирования всякого полилинейного отображения знакопеременен.
Действительно (следствие предложения 4), всякое антисимме-
V
трированное линейное отображение модуля (^) E в Л-модуль F аннулируется на N1 и тем более на N.
4. Знакопеременные полилинейные функции на свободном модуле
Пусть E — свободный Л-модуль и (e%)%^L — его базис. Отнесем
каждой последовательности s = образованной р эле-
ментами’множества L (различными или нет), элемент Cx1 ® ... ® е*, ;
будем в этом и0 обозначать его es. Множество этих элементов es (где s пробегает множество Lp всех последовательностей по р
396
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. ITI1 § 5
P
элементов из L) образует базис модуля (?) E (§1, следствие 2 предложения 7). Имеются два сорта последовательностей s: 10 такие, что Ts = s хотя бы для одной транспозиции г g @р (иными словами, последовательности s, имеющие два равных члена); множество всех таких последовательностей обозначим 2° последовательности s = (Xi), образованные попарно различными элементами; для такой последовательности s имеем as Ф s, какова бы ни была нетождественная подстановка и, следовательно,
oes = eas Ф es. Рассмотрим в множестве последовательностей этой второй категории отношение эквивалентности «st и S2 отличаются лишь расположением членов», которое может быть также выражено в форме «существует CgSp такое, что Os1 = s2». Выберем в каждом классе эквивалентности по этому отношению какую-нибудь (безразлично какую) последовательность, и пусть SB — множество всех выбранных последовательностей. Мы получим
