Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
V
базис модуля (^)Е, взяв:
1° элементы es, соответствующие последовательностям sg J?; 2° элементы eas, соответствующие последовательностям s6i? и всевозможным нетождественным подстановкам OgSp;
3° элементы es, соответствующие последовательностям Sg &.
р
Мы получим также базис модуля *^)Е, взяв:
а) элементы ев, соответствующие последовательностям sg J?; (3) элементы saeas — es, соответствующие последовательностям sgi? и всевозможным нетождественным подстановкам cr g tSp; у) элементы es, соответствующие последовательностям S? <#. Элементы этого базиса, относящиеся к категориям у) и Р), принадлежат подмодулю N, на котором аннулируются все знакопеременные линейные функции; для у) это вытекает из определения подмодуля N (п° 2), а для р) — из предложения 3. Покажем, что подмодуль, порожденный элементами базиса, относящимися к категориям у) и (3), есть не что иное, как подмодуль N1 тензоров z, антисимметрирование которых дает нуль. Так как N Cl N1 (предложение 5), то отсюда попутно получится, что TV1 = N. Достаточно показать, что для тензора г = Ja3eS (линейной ком-
4
ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА
397
бинации элементов категории а)) соотношение az = 0 влечет rXs = 0 для всех Ho это соотношение записывается в виде
X e0ase0S = О,
«е@р
откуда и следует справедливость утверждения.
р
Пусть теперь g — линейное отображение модуля (?) E в Л-ыо-дуль F. Для того чтобы g было знакопеременным, необходимо и достаточно, чтобы оно аннулировалось на базисе подмодуля Л’, образованном элементами указанных выше категорий р) и у); а отсюда вытекает система необходимых и достаточных условий шакоперемениости отображения g:
g (ев) = 0 для каждой последовательности s, у которой (по крайней мере) два члена равны;
g (eos) — eag (es) для каждой последовательности s с попарно различными членами и каждой подстановки @ .
р
Если линейное отображение g модуля (^)Е в F удовлетворяет указанным условиям, то обозначим через h линейное отображение, определяемое условиями
h (es) = g (eg) для каждой последовательности k (es) = 0 для каждой последовательности s$ HS.
Очевидно, ah = g: каждое знакопеременное линейное отображение есть результат антисимметрирования некоторого линейного отображения.
В итоге (учитывая следствие предложения 5) имеем:
Теорема 1. Пусть E — свободный А-модулъ. р
а) Подмодуль N в (X)-E1 на котором аннулируются все знакопеременные линейные функции (и0 2), совпадает с подмодулем N1 тензоров, антисимметрирование которых дает нуль.
V
б) Для того чтобы линейное отображение g модуля (?<) E в A-модуль F было знакопеременным, необходимо и достаточно, чтобы оно получалось путем антисимметрирования некоторого
р
линейного отображения (^)E в F.
398
П0ЛИЛІ1НЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § 5'
3 а и о ч а и и е. Вторая часть теоремы 1 остается верной и без предположения, что E обладает базисом, если только уравнение р'.у=Ь для каждого b f F имеет, и притом единственное, решение в F. Действительно (замечание 2 в n0 1), тогда каждое антисимметрическое полилинейное отображение E1' в F является результатом аптисимметри-рования некоторого полилинейного отображения, и, в частности., это верно для каждого знакопеременного полилинейного отображения FJ' в F (следствие 2 предложения 3). Таким образом, в этом случае понятия антисимметрированиого, знакопеременного и антисимметриче-ского полилинейных отображений Ev в F совпадают (что, например, имеет место для каждого целого р, когда EnF — векторные пространства над полем характеристики 0).
о. Внешние степени .модуля
Пусть E — произвольный унитарный Л-модуль. Так как
р
каждое знакопеременное линейное отображение g модуля (§) E
V
в Л-модуль F аннулируется на подмодуле N модуля (X) Е, то оно может быть записано в виде h°\J?, где г|) — каноническое отобра-
V V
жение модуля (X)E в фактормодуль (<g)E)/N, a h — однозначно определенное линейное отображение этого фактормодуля в F (гл. II, § 2, предложение 1). Поэтому каждое знакопеременное полилинейное отображение Ev в F может быть однозначно представлено в виде
(J"u . . ., Xv) —> h (ijj (Z1Ig). . . (S)Xp)).
Всюду в дальнейшем через X1А ж2 А • • • А хр для каждого элемента (Xi)^Ep будет обозначаться образ X1 ® х2® ... ® ж ¦ при
р
каноническом отображении г|з модуля (X) E на его фактормодуль
(Ig)E)/N.
Определение 5. Пусть E — унитарный А-модулъ. Фактор-
V
модуль модуля (X)Zi по его подмодулю N (порожденному разложимыми тензорами X1 <g) X2 ® ... <g> хр, в которых по крайней мере два элемента Xi-Xj равны) называется p-й внешней степенью модуля E
ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА
399
і' р и обозначается Д Е. Элементы из Д E называются р-векторами над Е; каждый р-вектор вида J1 Д х2Д ... Д.тр (где все Xi g Е) называется разложимым.
Приведенное определение имеет смысл лишь при р >2; в допол-
1
нение к нему будем, по условию, понимать под /\Е сам модуль Е,
о
а под /\Е — кольцо операторов А; таким образом, 1-вектор — это элемент из Е, а 0-вектор — скаляр.