Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 5. Для каждого A-представления f алгебры E в произвольную алгебру N относительно В существует однозначно определенное В-представление g алгебры E(B) в N такое, что f (х) = g (е 0 х) для всех х? Е.
Принимая во внимание предложение 2 § 2, достаточно показать, что g (yy') = g (у) g (у') в Е(в), и так как образ E при каноническом отображении х —> е 0 х порождает Е(В> (рассматриваемое как 5-модуль), то можно ограничиться случаем, когда у = е®х, у' — е 0 х', где х и х' принадлежат Е; тогда имеем yy' = е 0 (хх'), и соотношение g (yy') = g (у) g (у') вытекает из того, что / есть Л-представление.
Предложение 1 § 2 также распространяется на алгебры;
проверку выполнения этого мы предоставим читателю. В силу установленного только что предложения 5, доказательство предложения 4 § 2 показывает тогда, что расширение кольца операторов алгебры также есть транзитивная операция; точнее говоря, если С — коммутативное кольцо с единицей е, А и В — его подкольца такие, что Л d 5, и E — алгебра над А, то алгебра Е( о изоморфна алгебре (Е(В))(С).
Предложение 6. Если алгебра E обладает базисом (а-,) относительно А, то ее каноническое отображение х—>е 0 ж в Е(ву
4
ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ АЛГЕБР
371
есть А-изоморфизм\ по отождествлении E с ее образом E1 при этом изоморфизме (а%) является базисом алгебры Е(В) относительно В, и каждое A-представление алгебры E в алгебру N относительно В однозначно продолжается до В-представления / алгебры E(B) в N.
Это непосредственно следует из установленного выше предложения 5 и теоремы 1 § 2.
Заметим, что таблица умножения базиса (а%) (гл. II, § 7, п0 2) одна и та же для алгебр E и Е(щ.
Предложение 7. Пусть А — кольцо целостности, обладающее единицей (обозначаемой I), К — его поле отношений и E — алгебра над А, все ненулевые элементы которой свободные (относительно структуры 4-модуля в А). Тогда каноническое отображение х —> I ® X алгебры E в алгебру Em над полем К есть А-изоморфизм E на подалгебру E1 в К ® E такую, что Em = KE1; при отождествлении E с E1 посредством этого изоморфизма каждое А-представление / алгебры E в алгебру G над К однозначно продолжается до К-представления / алгебры Em в G; если / — А-изоморфизм, то f — К-изоморфизм.
Справедливость предложения вытекает из установленного выше предложения 5 и следствия 1 теоремы 2 § 2.
Упражнения. 1) Пусть EaF — алгебры над коммутативным кольцом А с единицей. Если а — левый идеал в E и Б — левый идеал в F, то аддитивная подгруппа в E (х) F, порожденная элементами х ® У, гДе х пробегает а и у пробегает Ь, есть левый идеал алгебры E lg) F.
2) Пусть EuF- алгебры над полем К, имеющие каждая единичный элемент, и С — центр алгебры Е. Показать, что подалгебра алгебры ElgF, порожденная элементами, перестановочными со всеми элементами из Е, совпадает с С ® F\ центром алгебры E(R)F служит подалгебра С lg)D, где Д—центр F.
3) Пусть E1, E2, F1, F2 — алгебры над кольцом А. Если и представление E1 в E2 и v — представление F1 в F2, то тензорное произведение и (g V есть представление алгебры E1 (R) F1 ъ алгебру E2 Ig F2.
4) Пусть В — коммутативное кольцо с единицей є, А — его подкольцо, содержащее е, и Е, F — алгебры над А. Показать, что алгебра (Е Ig F)(B) изоморфна алгебре Е(в) 0 F(n).
24*
372
!!о.шдиіікі'їнлн а.чг)¦:Diw
гл. in, S4
5) Пусть E — алгебра над иолом К н L — надполе итого полп. Показать, что если алгебра обладает единицей, то это же перім и для алгебры Е. [Воспользоваться теоремой 1 § 5 главы II.J
§ Л. Тензоры її тензорные пространства
1. Тензоры
Опі’ЕДЕЛЕниЕ 1. Пусть E — унитарный модуль над коммутативным кольцом А. р раз контравариантным и q раз ковариант-ным тензором над E называется всякий элемент тензорного про-
P+Q
изведения (^Ei, где р из модулей Ei совпадают с Е, а остальные
г—1
q — c сопряженным модулем Е*\ число p-\-q называется порядком *) тензора.
В случае, когда q = 0 (соответственно р = 0), имеется лишь один модуль тензоров порядка р + q, а именно р-я тензорная степень E (соответственно q-я тензорная степень Е*)\ его тензоры называют контравариантными тензорами р-го порядка (соответственно ковариантными тензорами q-го порядка); контрава-риантные тензоры первого порядка, т. е. элементы модуля Е, называют также контравариантными векторами; точно так же ковариантные тензоры первого порядка, т. е. элементы сопряженного модуля Е* (линейные формы на Е), называют ковариантными векторами. В дополнение к определению і условимся рассматривать скаляры (элементы кольца А) как тензоры и называть их тензорами нулевого порядка.
В случае, когда р и q отличны от нуля, р раз коитравариантные и q раз ковариантные тензоры называют смешанными; они обра-
(р <7)! „ Ґ
зуют j различных модулен, HO между любыми двумя из
этих модулей существует каноническое взаимно однозначное соответствие (§ 1, п° 7); во многих случаях можно ограничиться рассмотрением лишь одного из них, например произведения
V п
(&)Е) ® ((g)/?*), которое будет обозначаться Tq (E) или просто Eg, если это не сможет повлечь путаницы. Элементами Eq служат
